Teorema de Størmer

En teoría de números, o teorema de Størmer, que recibe o nome de Carl Størmer, dá unha límite finito sobre o número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un determinado grao de suavidade, e proporciona un método para atopar todos eses pares utilizando as ecuacións de Pell. Do teorema de Thue–Siegel–Roth despréndese que só hai un número finito de pares deste tipo, mais Størmer deu un procedemento para atopalos todos.

Enunciado

Se se escolle un conxunto finito $P=\{p_{1},p_{2},\dots p_{k}\}$ de números primos, entón os números P-suaves defínense como o conxunto de números enteiros

$\left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}$

que poden ser xerados por produtos de números en P. Daquela o teorema de Størmer afirma que, para cada opción de P, só hai un número finito de pares de números P-suaves consecutivos. Ademais, dá un método para atopalos todos usando as ecuacións de Pell.

O procedemento

O procedemento orixinal de Størmer implica resolver un conxunto de aproximadamente 3^k ecuacións de Pell, atopando en cada unha só a solución máis pequena. A continuación descríbese unha versión simplificada do procedemento, debido a DH Lehmer,; resolve menos ecuacións mais da atopado máis solucións en cada ecuación.

Sexa P o conxunto dado de primos e definimos un número como P-suave se todos os seus factores primos pertencen a P. Supoñamos que p₁ = 2; se non, non podería haber números P-suaves consecutivos, porque todos os números P-suaves serían impares. O método de Lehmer implica resolver a ecuación de Pell

$x^{2}-2qy^{2}=1$

para cada número P-suave libre de cadrados q distinto de 2. Cada número q xérase como produto dun subconxunto de P, polo que hai que resolver 2^k − 1 ecuacións de Pell. Para cada ecuación deste tipo, sexan x_i , y_i as solucións xeradas para i no intervalo de 1 a max(3, ( p_k + 1)/2) (inclusive), onde p_k é o maior dos primos de P.

Entón, como mostra Lehmer, todos os pares consecutivos de números P-suaves teñen a forma (x_i − 1)/2, (x_i + 1)/2. Así, pódense atopar todos estes pares probando os números desta forma para a P-suavidade .

Exemplo

Imos atopar os dez pares consecutivos de {2,3,5}-números suaves. Hai sete números P-suaves libres de cadrados q (omitindo o oitavo número P-suave sen cadrados: 1, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, e cada un deles leva a unha ecuación de Pell. O número de solucións por ecuación de Pell requirido polo método de Lehmer é max(3, (5 + 1)/2) = 3, polo que este método xera tres solucións para cada ecuación de Pell, como veremos a continuación.

• Para q = 1, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x ² − 2y ² = 1 son (3,2), (17,12) e (99,70). Así, para cada un dos tres valores x_i = 3, 17 e 99, o método de Lehmer proba o par ( (x_i − 1)/2, (x_i + 1)/2); os tres pares a probar son logo (1,2), (8,9) e (49,50). Tanto (1,2) como (8,9) son pares de números P-suaves consecutivos, mais (49,50) non o é, xa que 49 ten 7 como factor primo.
• Para q = 3, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x ² − 6y ² = 1 son (5,2), (49,20) e (485,198). A partir dos tres valores x_i = 5, 49 e 485 os tres pares candidatos de números consecutivos son: (2,3), (24,25) e (242,243). Deles, (2,3) e (24,25) son pares de números P-suaves consecutivos pero (242,243) non o é.
• Para q = 5, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x ² − 10 y ² = 1 son (19,6), (721,228) e (27379,8658). A solución de Pell (19,6) leva ao par de números P-suaves consecutivos (9,10); as outras dúas solucións da ecuación de Pell non dan lugar a pares P-suaves.
• Para q = 6, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x ² − 12 y ² = 1 son (7,2), (97,28) e (1351,390). A solución de Pell (7,2) leva ao par de números P-suaves consecutivos (3,4).
• Para q = 10, temos x ² − 20y ² = 1 con solucións (9,2), (161,36) e (2889,646). Aquí (9,2) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (4,5) e (161,36) a (80,81).
• Para q = 15, temos x ² − 30y ² = 1 con solucións (11,2), (241,44) e (5291,966). Aquí para (11,2) temos os P-suaves consecutivos (5,6).
• Para q = 30, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x ² − 60y ² = 1 son (31,4), (1921,248) e (119071,15372). A solución de Pell (31,4) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (15,16).

Contaxe de solucións

O resultado orixinal de Størmer pódese usar para mostrar que o número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves con respecto a un conxunto de k primos é como máximo 3^k − 2^k. O resultado de Lehmer produce unha cota máis axustada para conxuntos de números primos pequenos: (2^k − 1) × max(3,(p _k +1)/2).

O número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves con respecto aos primeiros k primos son

1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345,... (secuencia [[OEIS:{{{id}}}|{{{id}}}]] na OEIS) .

O maior número enteiro de todos estes pares, para cada k, é

2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211,... (secuencia [[OEIS:{{{id}}}|{{{id}}}]] na OEIS) .

Xeneralizacións e aplicacións

Louis Mordell escribiu sobre este resultado, dicindo que "é moi feituco, e hai moitas aplicacións del".

Chein (1976) utilizou o método de Størmer para demostrar a conxectura de Catalan sobre a inexistencia de potencias perfectas consecutivas (diferentes a 8,9) no caso de que unha das dúas potencias sexa un cadrado.

Mabkhout (1993) demostrou que todo número x^4 + 1, para x > 3, ten un factor primo maior ou igual a 137. O teorema de Størmer é unha parte importante da súa demostración, na que reduce o problema á solución de 128 ecuacións de Pell.

Varios autores ampliaron o traballo de Størmer proporcionando métodos para enumerar as solucións de ecuacións diofántianas máis xerais, ou proporcionando criterios de divisibilidade máis xerais para as solucións das ecuacións de Pell.

Conrey, Holmstrom e McLaughlin (2013) describen un procedemento computacional que, empíricamente, atopa moitos mais non todos os pares consecutivos de números suaves descritos polo teorema de Størmer, e é moito máis rápido que usar a ecuación de Pell para atopar todas as solucións.

Véxase tamén

Bibliografía

• Cao, Zhen Fu (1991). On the Diophantine equation (ax^m - 1)/(abx-1) = by². Chinese Sci. Bull. 36. pp. 275–278. MR 1138803. 
• Chapman, Sydney (1958). Fredrik Carl Mulertz Stormer, 1874-1957. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society 4. pp. 257–279. JSTOR 769515. doi:10.1098/rsbm.1958.0021. 
• Chein, E. Z. (1976). A note on the equation x² = y^q + 1. Proceedings of the American Mathematical Society 56. pp. 83–84. JSTOR 2041579. MR 0404133. doi:10.2307/2041579. 
• Conrey, J. B.; Holmstrom, M. A.; McLaughlin, T. L. (2013). Smooth neighbors. Experimental Mathematics 22. pp. 195–202. MR 3047912. arXiv:1212.5161. doi:10.1080/10586458.2013.768483. 
• Halsey, G. D.; Hewitt, Edwin (1972). More on the superparticular ratios in music. American Mathematical Monthly 79. pp. 1096–1100. JSTOR 2317424. MR 0313189. doi:10.2307/2317424. 
• Lehmer, D. H. (1964). On a Problem of Størmer. Illinois Journal of Mathematics 8. pp. 57–79. MR 0158849. doi:10.1215/ijm/1256067456. 
• Luo, Jia Gui (1991). A generalization of the Störmer theorem and some applications. Sichuan Daxue Xuebao 28. pp. 469–474. MR 1148835. 
• Mabkhout, M. (1993). Minoration de P(x⁴+1). Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari 63. pp. 135–148. MR 1319302. 
• Mei, Han Fei; Sun, Sheng Fang (1997). A further extension of Störmer's theorem. Journal of Jishou University (Natural Science Edition) (en Chinese) 18. pp. 42–44. MR 1490505. 
• Størmer, Carl (1897). Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x^2 - Dy^2 = +- 1 et leurs applications. Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiania), Mat.-Naturv. Kl. I. 
• Sun, Qi; Yuan, Ping Zhi (1989). On the Diophantine equations (ax^n - 1)/(ax - 1) = y^2 and < (ax^n + 1)/(ax + 1) = y^2. Sichuan Daxue Xuebao 26. pp. 20–24. MR 1059671. 
• Walker, D. T. (1967). On the diophantine equation mX² - nY² = ±1. American Mathematical Monthly 74. pp. 504–513. JSTOR 2314877. MR 0211954. doi:10.2307/2314877.