Romboedro

Romboedro (de rombo e -edro, do grego antigo: ἕδρα - base, cara) é un corpo xeométrico que xeneraliza un cubo, onde as caras son rombos en lugar de cadrados. O romboedro é un tipo de paralelepípedo no que todas as arestas son iguais. Tamén se usa para definir o sistema cristalino trigonal, así como para a estrutura de panais con células romboédricas.

En xeral, un romboedro pode ter tres tipos de caras rómbicas, divididas en pares de lados opostos congruentes. Este poliedro posúe simetría C_i de orde 2.

Catro vértices non adxacentes dun romboedro conforman necesariamente os vértices dun tetraedro ortocéntrico, e todos os tetraedros ortocéntricos poden derivarse deste xeito.

Sistema de cristalización romboédrico

O sistema de cristalización trigonal romboédrico caracterízase por células con tres pares de caras romboédricas distintas:

Na cristalografía, o romboedro é identificado como unha forma simple dentro do sistema trigonal, que algúns autores non consideran como un sistema cristalino independente, senón como unha variante do sistema hexagonal. Minerais como a esfalerita ou a fenacita cristalizan neste sistema, así como moitos outros minerais que incorporan estruturas romboédricas complexas, por exemplo, a calcita.

Casos especiais

A continuación mostrase unha táboa comparativa de diferentes poliedros e as súas características:

Vista	Cubo	Trapezoedro trigonal	Prisma romboédrico recto	Vista xeral do prisma romboédrico	Romboedro xeral
Simetría	Oh, [4,3], orde 48	D3d, [2+,6], orde 12	D2h, [2,2], orde 8	C2h, [2], orde 4	Ci, [2+,2+], orde 2
Imaxe
Bordes	6 cadrados	6 rombos idénticos	Dous diamantes e 4 cadrados	6 caras rómbicas	6 caras rómbicas

• Cubo: con simetría de orde 48. Todas as caras son cadradas.
• Trapezoedro trigonal: Con simetría D_3d, [2+,6], de orde 12. Todas as caras son idénticas e os ángulos internos agudos son iguais. Pode considerarse como unha extensión dun cubo ao longo da súa diagonal principal. Por exemplo, un octaedro regular con dous tetraedros pegados ás caras opostas forma un trapezoedro trigonal cun ángulo de 60 graos. O trapezoedro trigonal ten polo menos dous vértices tales que todos os ángulos adxacentes a eles son iguais entre si. A través destes vértices pasa un eixo de simetría de terceira orde (é dicir, un eixo que, ao xirar ao redor del nun ángulo de 120° = 2π/3, fai que o corpo coincida consigo mesmo). Ademais, isto é unha característica do trapezoedro trigonal: un paralelepípedo é un trapezoedro trigonal só se ten un eixo de simetría de terceira orde.
• Prisma romboédrica directa: Con simetría D_2h, [2,2], de orde 8. Constrúese a partir de dous rombos e 4 cadrados, similar a un cubo estirado ao longo dunha diagonal de cara. Por exemplo, dúas prismas triangulares unidas pola súa cara lateral forman unha prisma romboédrica con un ángulo de 60 graos.
• Prisma romboédrica de aspecto xeral: con simetría de orde 4. Ten só un plano de simetría que pasa por catro vértices e ten 6 caras romboidais.

Xeometría de corpos

Para un romboedro unitario (lonxitude do lado = 1), no que o ángulo rómbico agudo é θ, un vértice sitúase na orixe (0, 0, 0) e un borde no eixo x, os tres vectores son iguais

e ₁ : ${\biggl (}1,0,0{\biggr )},$

_e2 : ${\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},$

e ₃ : ${\biggl (}\cos \theta ,{(\cos \theta -(\cos \theta )^{2}) \over \sin \theta },{{\sqrt {(1-3(\cos \theta )^{2}+2(\cos \theta )^{3})}} \over sin\theta }{\biggr )}.$

Pódense obter outras coordenadas da adición de vectores de 3 direccións, e ₁ + e ₂, e ₁ + e ₃, e ₂ + e ₃ e e ₁ + e ₂ + e _3.

O volume dun romboedro cuxa lonxitude do lado é igual a a é unha simplificación da fórmula para o volume dun paralelepípedo e vén dado pola fórmula

${\text{Vol}}=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {(1+2\cos \theta )}}.$

Xa que a área da base vén dada pola fórmula $a^{2}\sin \theta$, a altura do romboedro h vén dada pola fórmula (o volume dividido pola área da base)

$h={a(1-\cos \theta ){\sqrt {(1+2\cos \theta )}} \over \sin \theta }.$

Considere as diagonais internas do romboedro da figura. Tres das diagonais internas (BG, CF e DE) teñen a mesma lonxitude. Son fáciles de calcular mediante a xeometría de coordenadas se se coñecen as coordenadas de cada vértice. A distancia no espazo tridimensional calcúlase mediante a fórmula.

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$

Por exemplo, para un romboedro unitario cun ángulo agudo de 72 graos, as tres diagonais internas (BG, CF e DE) son iguais a 1,543 e a diagonal longa (AH) é igual a 2,203. O volume deste romboedro é de 0,8789 e a altura é de 0,9242.

Véxase tamén

Bibliografía

• L. Lines. Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications, 1965.
• N. A. Court. "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 1934. JSTOR 2300415.

Outros artigos

• Cristal
• Cristalografía
• Cubo
• Dodecaedro
• Estrutura cristalina
• Icosaedro
• Minerais
• Paralelepípedo
• Poliedro
• Simetría
• Sistema cristalino
• Tetraedro

Ligazóns externas

• Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php