Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un produto directo de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.

Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos.

Exemplos

• Se pensamos $\mathbb {R}$ como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ é só o produto cartesiano $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.$
• Se pensamos $\mathbb {R}$ como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ aínda ten $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$
• Se pensamos $\mathbb {R}$ como o anel dos números reais, daquela o produto directo $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ de novo ten $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ e na multiplicación definida por $(a,b)(c,d)=(ac,bd).$
• Aínda que o anel $\mathbb {R}$ é un corpo, $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ non o é, porque o elemento distinto de cero $(1,0)$ non ten inverso multiplicativo .

De xeito semellante, podemos falar do produto directo de un número finito de estruturas alxébricas, por exemplo, $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .$ Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ para calquera estruturas alxébricas $A,$$B,$ e $C$ do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir, $A\times B\cong B\times A$ para calquera estrutura alxébrica $A$ e $B$ do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de $\mathbb {R} ,$ que escribimos como $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .$

Produto directo de grupos

Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos $(G,\circ )$ e $(H,\cdot ),$ denotado por $G\times H.$ Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por $G\oplus H.$

Defínese do seguinte xeito:

• o conxunto dos elementos do novo grupo é o produto cartesiano dos conxuntos de elementos de $G{\text{ e }}H,$ é dicir $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$
• sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos: $$(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)$$

Teña en conta que $(G,\circ )$ pode coincidir con $(H,\cdot ).$

Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a $G$ (dado polos elementos da forma $(g,1)$ ), e outro isomorfo a $H$ (que comprende os elementos $(1,h)$ ).

Na dirección contraria tamén se cumpre. Se un grupo $K$ contén dous subgrupos normais $G{\text{ and }}H,$ tal que $K=GH$ e a intersección de $G{\text{ and }}H$ contén só a identidade, daquela $K$ é isomorfo a $G\times H.$ Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.

Como exemplo, tome como $G{\text{ e }}H$ dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2, $C^{2}:$ digamos $\{1,a\}{\text{ e }}\{1,b\}.$ Entón $C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},$ coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo, $(1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),$ e $(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$

Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupo naturais: os mapas de proxección definidos por $${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}$$ e chámanse funcións de coordenadas.

Para calquera grupo $(G,\circ )$ e calquera número enteiro $n>0,$ a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as $n$-tuplas $G^{n}$ por exemplo $\mathbb {Z} ^{n}$ e $\mathbb {R} ^{n}.$

Produto directo de módulos

O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensor) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de $\mathbb {R}$ obtemos o espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n},$ o exemplo prototípico dun espazo vectorial real $n$-dimensional. O produto directo de $\mathbb {R} ^{m}$ e $\mathbb {R} ^{n}$ é $\mathbb {R} ^{m+n}.$

Teña en conta que un produto directo para un índice finito ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ é canonicamente isomorfo á suma directa ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos.

Produto directo de espazos topolóxicos

O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos $X_{i}$ para $i$ en $I,$ algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano $$\prod _{i\in I}X_{i}.$$

Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor: $${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {aberto\in } \ X_{i}\right\}.$$

Esta topoloxía chámase topoloxía do produto . Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto $\mathbb {R} ^{2}$ polos conxuntos abertos de $\mathbb {R}$ (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).

Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto.

Produto directo de relacións binarias

Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias $R{\text{ e }}S,$ definimos $(a,b)T(c,d)$ como $aRc{\text{ e }}bSd.$ Se $R{\text{ and }}S$ son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón $T$ tamén o será. Do mesmo xeito, a totalidade de $T$ é herdada de $R{\text{ and }}S.$ Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se $R{\text{ and }}S$ son relacións conectadas, $T$ non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de $\,\leq \,$ on $\mathbb {N}$ consigo mesmo non relaciona $(1,2){\text{ con }}(2,1).$

Produto directo en álxebra universal

Se $\Sigma$ é unha sinatura fixada, $I$ é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e $\left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}$ é unha familia indexada de $\Sigma$ álxebras, o produto directo ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ é unha $\Sigma$ álxebra definida como segue:

• O conxunto universo $A$ de $\mathbf {A}$ é o produto cartesiano dos conxuntos universo $A_{i}$ de $\mathbf {A} _{i},$ formalmente: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Para cada $n$ e cada $n$-aria operación de símbolo $f\in \Sigma ,$ a súa interpretación $f^{\mathbf {A} }$ en $\mathbf {A}$ defínese por compoñentes, formalmente: para todos os $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ e cada $i\in I,$ o $i$-ésimo compoñente de $f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ defínese como $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).$

Produto directo interno e externo

Algúns autores fan unha distinción entre un produto directo interno e un produto directo externo. Por exemplo, se $A$ e $B$ son subgrupos dun grupo abeliano aditivo $G$, tal que $A+B=G$ e $A\cap B=\{0\}$, entón $A\times B\cong G,$ e dicimos que $G$ é o produto directo interno de $A$ e $B$. Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto $\{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}$ como produto directo externo de $A$ e $B$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

Outros artigos

• Suma directa.
• Produto tensor.

Ligazóns externas

• Produto directo en MathWorld.