Número tetraédrico

Unha pirámide cunha lonxitude de lado 5 contén 35 esferas. As capas son os primeiros números triangulares.

Un número tetraédrico, ou número piramidal triangular, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras . O n ésimo número tetraédrico, Te_n, é a suma dos n primeiros números triangulares, é dicir,

$Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)$

Os números tetraédricos son:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,... (secuencia A000292 na OEIS)

Fórmula

Os números Tetraédricos aparecendo no triángulo de Pascal

A fórmula para o n ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de n dividido polo factorial de 3:

$Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}$

Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais :

$Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.$

Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal .

Probas da fórmula

Sabemos que o n-ésimo número triangular vén dado por:

$T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Empregando indución :

Caso para $n=1$

$Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.$

Supoñendo que sexa certo para $n=k$, facemos o paso indutivo para $n=k+1$

${\begin{aligned}Te_{k+1}\quad &=Te_{k}+T_{k+1}\\&={\frac {k(k+1)(k+2)}{6}}+{\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&=(k+1)(k+2)\left({\frac {k}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}}.\end{aligned}}$

Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper .

Relación recursiva

Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes:

${\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}$

A ecuación $(1)$ convértese en

${\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}$

Substituíndo $n-1$ por $n$ na ecuación $(1)$

${\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}$

Por ende, o $n$ o número tetraédrico cumpre que:

${\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}$

Xeneralización

O patrón atopado para os números triangulares $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}$ e para números tetraédricos $\sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}$ pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula: $$\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}$$

Interpretación xeométrica

A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partires do triangulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bolas, o quinto número triangular, se imos apilando* máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico.

Propiedades

• Te_n + Te_n−1 = 1² + 2² + 3² ... + n², o número n-ésimo número piramidal cadrado .

  Te_2n+1 = 1² + 3² ... + (2n+1)², suma dos cadrados dos impares.

  Te_2n = 2² + 4² ... + (2n)², suma dos cadrados dos pares.

• A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:

  Te₁ = 1² =1

  Te₂ =2² =4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• Sir Frederick Pollock hizo una conjetura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos.
• O único número tetraédrico que tamén é número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1.
• A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é 3/2, pódese calcular empregando series telescópicas:

  $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$

• A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par.
• Una observación:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te₁

• Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación:$T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=T_{em}$

O terceiro número tetraédrico é igual ao cuarto número triangular xa que o n -ésimo número k -simple é igual ao k -ésimo número n -símplex debido á simetría do triángulo de Pascal, e as súas diagonais son números simples; do mesmo xeito, o quinto número tetraédrico (35) é igual ao cuarto número de pentácoron, e así por diante

Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son  :

Te₁ = T₁ = 1

Te₃ = T₄ = 10

Te₈ = T₁₅ = 120

Te₂₀ = T₅₅ = 1540

Te₃₄ = T₁₁₉ = 7140

• Te_n é a suma dos produtos p × q cando (p, q) son pares ordenados e p + q = n + 1
• O número tetraédrico máis grande da forma $2^{a}+3^{b}+1$ para enteiros a e b é 8436.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Number". MathWorld. 
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.