Función indicadora

Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto X): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" (A).

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se A é un subconxunto dalgún conxunto X, entón $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ se $x\in A,$ e $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ se $x\notin A$. A notación $\mathbf {1} _{A}$ é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son $I_{A},$ e $\chi _{A}.$

A función indicadora de A tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a A; é dicir,

$$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$$

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

Definición

A función indicadora dun subconxunto A dun conxunto X é unha función

$$\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}$$

definida como

$$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}$$

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, $[x\in A]$ en lugar de $\mathbf {1} _{A}(x).$

A función $\mathbf {1} _{A}$ ás veces denótase I_A, χ_A, K_A.

Propiedades básicas

A función indicador dun subconxunto A dalgún conxunto X asigna elementos de X no rango $\{0,1\}$.

Este mapa é sobrexectivo só cando A é un subconxunto propio non baleiro de X. Se $A\equiv X,$ entón $\mathbf {1} _{A}=1.$ Por un argumento semellante, se $A\equiv \emptyset$ entón $\mathbf {1} _{A}=0.$

Se $A$ e $B$ son dous subconxuntos de $X,$ daquela$${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}$$

e a función indicadora do complemento de $A$ é dicir $A^{C}$ é: $$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$$

De xeito máis xeral, supoña que $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ son unha colección de subconxuntos de X. Para calquera $x\in X:$

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$$

é claramente un produto de 0s e 1s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses $x\in X$ que non pertencen a ningún dos conxuntos $A_{k}$ e é 0 en caso contrario. É dicir

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$$

Expandendo o produto no lado esquerdo,

$$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$$

onde $|F|$ é a cardinalidade de F. Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se X é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade $\operatorname {P}$ e A é un conxunto medible, entón $\mathbf {1} _{A}$ convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de A:

$$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).$$

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.

Véxase tamén

Bibliografía

• Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6. 
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". Introduction to Algorithms (Second ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3. 
• Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. 
• Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. 
• Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0. 
• Goguen, Joseph (1967). "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl:10338.dmlcz/103980. 

Outros artigos

• Función paso de Heaviside
• Corchete de Iverson
• Delta de Kronecker