Medida (matemáticas)

Un exemplo simple de medida sería un volume.
Informalmente, unha propiedade da medida é ser monótona no sentido de que se $A$ é un subconxunto de $B,$ a medida de $A$ é menor ou igual que a medida de $B.$
A maiores, a medida do conxunto baleiro debe ser 0.

En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.

Intuitivamente, a medida dun conxunto ou subconxunto é similar á noción de tamaño. Neste sentido, a medición é unha xeneralización dos conceptos de lonxitude,área e volume en espazos de dimensión 1, 2 ou 3 respectivamente.

O estudo de espazos con medidas é o tema da teoría da medida.

Definición

Sexa $X$ un conxunto e $\Sigma$ unha $\sigma$-álxebra de conxuntos de $X$. Dada unha aplicación $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$ (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en $\Sigma$ se satisfai as seguintes propiedades:

• $\mu (\emptyset )=0.$
• Dado un conxunto numerable $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma$ con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset$ para $i\neq j$, entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n}).$

Chamamos espazo de medida á terna $(X,\Sigma ,\mu )$.

Propiedades das medidas

Dado un espazo de medida $(X,\Sigma ,\mu )$ temos que

• Dados $E,F\in \Sigma$ con $E\subset F$, temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, $\mu (E)\leq \mu (F)$. Se, ademais, $\mu (E)<+\infty$, temos que $\mu (F\setminus E)=\mu (F)-\mu (E)$.
• Dados $E,F\in \Sigma$, temos que $\mu (E\cup F)\leq \mu (E)+\mu (F)$.
• Dada $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset \Sigma$ unha colección finita de conxuntos, temos que $\mu \left(\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}\mu \left(E_{k}\right)$ (Subaditividade finita).
• Dada $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma$ unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu \left(E_{n}\right)$ (Subaditividade numerable).

Exemplos de medidas

• Se $X=\mathbb {N}$ e consideramos a $\sigma$-álxebra $\Sigma ={\mathcal {P}}(X)$, podemos definir a medida dun conxunto $E\subset \mathbb {N}$ como o cardinal deste conxunto $\mu (E)=|E|$, isto é, o número de elementos de $E$ se este é finito ou infinito en caso contrario.
• Chamamos medida exterior dun subconxunto $E\subset \mathbb {R} ^{N}$ como $m^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{+\infty }{\text{long}}(I_{k})\colon \ E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k},\ {\text{con }}I_{k}{\text{ cela de }}\mathbb {R} ^{N}\ \forall k\in \mathbb {N} \right\}.$
• A esta medida chamámola medida de Lebesgue en $\mathbb {R} ^{N}$ cando a definimos sobre o espazo medible $\left(\mathbb {R} ^{N},{\mathcal {L}}\right)$, onde ${\mathcal {L}}$ é a $\sigma$-álxebra de Lebesgue.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bartle, R.G.B (1995). The elements of integration and Lebesgue Measure. Wisley. 
• Del Castillo, F (1987). Análisis Matemático II. Alhambra. 
• Cohn, D. L. (2013). Measure Theory. Birkhauser. 
• de Barra, G. (1981). Measure Theory and Integration. John Wiley. 
• de Barra, G. (2015). Measure Theory and fine properties of functions. Chapman and Hall. 
• de Barra, G. (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press. 
• Tao, Terence (2012). An Introduction to Measure Theory (PDF). 

Outros artigos

• Función medible
• Espazo medíbel
• Espazo de medida
• Teoría da probabilidade
• Integral de Lebesgue

Ligazóns externas

• Mathworld: Medida.