Cono: Diferenzas entre revisións
m Bot - Trocar {{AP}} por {{Artigo principal}}; cambios estética |
m Bot: Arranxos varios |
||
Liña 13: | Liña 13: | ||
* '''Cono recto''', se o vértice equidista da base circular. |
* '''Cono recto''', se o vértice equidista da base circular. |
||
* '''Cono oblicuo''', se o vértice non equidista da súa base. |
* '''Cono oblicuo''', se o vértice non equidista da súa base. |
||
* '''Cono elíptico''', se a base é unha [[elipse (xeometría)|elipse]]. Poden ser rectos ou oblicuos. |
* '''Cono elíptico''', se a base é unha [[elipse (xeometría)|elipse]]. Poden ser rectos ou oblicuos. |
||
== Propiedades == |
== Propiedades == |
||
Liña 19: | Liña 19: | ||
A área <math>A\,</math> da superficie do cono recto é: |
A área <math>A\,</math> da superficie do cono recto é: |
||
:<math>A=A_{Base}+ A_{Lateral}=\pi r^2 + \pi rg\,\!</math> |
:<math>A=A_{Base}+ A_{Lateral}=\pi r^2 + \pi rg\,\!</math> |
||
onde '''r''' é o radio da base e '''g''' a lonxitude da xeratriz do cono recto. |
onde '''r''' é o radio da base e '''g''' a lonxitude da xeratriz do cono recto. |
||
A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude <math>g=\sqrt{h^2+r^2}\,</math>. |
A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude <math>g=\sqrt{h^2+r^2}\,</math>. |
||
Liña 32: | Liña 32: | ||
A forma de calcular a distancia '''''a''''' no desenvolvemento é coa ecuación de <math>a=\sqrt{h^2+r^2}\,</math> |
A forma de calcular a distancia '''''a''''' no desenvolvemento é coa ecuación de <math>a=\sqrt{h^2+r^2}\,</math> |
||
onde '''''r''''' é o radio da base e '''''h''''' é a altura do cono. |
onde '''''r''''' é o radio da base e '''''h''''' é a altura do cono. |
||
O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula: |
O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula: |
||
Liña 42: | Liña 42: | ||
:<math>V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\,\!</math> |
:<math>V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\,\!</math> |
||
A ecuación obtense mediante <math>\int^{h}_{0}A(x)dx\,\!</math>, |
A ecuación obtense mediante <math>\int^{h}_{0}A(x)dx\,\!</math>, |
||
onde <math>A(x)\,</math> é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura <math>h</math>, neste caso <math>A(x)=\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2</math>. |
onde <math>A(x)\,</math> é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura <math>h</math>, neste caso <math>A(x)=\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2</math>. |
||
Liña 48: | Liña 48: | ||
== Cono oblicuo == |
== Cono oblicuo == |
||
[[Ficheiro:Cone 3d.png|thumb|300px|Seccións dun cono recto e un cono oblicuo de base circular.]] |
[[Ficheiro:Cone 3d.png|thumb|300px|Seccións dun cono recto e un cono oblicuo de base circular.]] |
||
Un '''cono oblicuo''' é aquel cono cuxo [[eixe de rotación|eixe]] de revolución non é perpendicular á súa base. |
Un '''cono oblicuo''' é aquel cono cuxo [[eixe de rotación|eixe]] de revolución non é perpendicular á súa base. |
||
Poden ser de dous tipos: de base [[círculo|circular]] ou de base [[Elipse (xeometría)|elíptica]]. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un [[plano (xeometría)|plano]] oblicuo ao seu eixe de revolución. |
Poden ser de dous tipos: de base [[círculo|circular]] ou de base [[Elipse (xeometría)|elíptica]]. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un [[plano (xeometría)|plano]] oblicuo ao seu eixe de revolución. |
||
Liña 62: | Liña 62: | ||
=== Volume === |
=== Volume === |
||
A ecuación empregada para calcular o [[volume (xeometría)|volume]] dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto: |
A ecuación empregada para calcular o [[volume (xeometría)|volume]] dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto: |
||
:::<math> V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h} {3}</math> |
:::<math> V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h} {3}</math> |
||
Liña 84: | Liña 84: | ||
Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice). |
Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice). |
||
As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas. |
As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas. |
||
Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión. |
Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión. |
||
Liña 91: | Liña 91: | ||
[[Ficheiro:Doppelkegel.png|thumb|Superficie cónica.]] |
[[Ficheiro:Doppelkegel.png|thumb|Superficie cónica.]] |
||
En [[xeometría analítica]] e [[xeometría diferencial]], o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de [[coordenadas cartesianas]], unha ecuación do tipo: |
En [[xeometría analítica]] e [[xeometría diferencial]], o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de [[coordenadas cartesianas]], unha ecuación do tipo: |
||
:::<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,</math> |
:::<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,</math> |
||
Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función: |
Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función: |
||
:::<math>X(\theta,t)=(a \cdot t \cdot \cos(\theta),b \cdot t \cdot \sin(\theta),c \cdot t),\,</math> |
:::<math>X(\theta,t)=(a \cdot t \cdot \cos(\theta),b \cdot t \cdot \sin(\theta),c \cdot t),\,</math> |
Revisión como estaba o 8 de decembro de 2016 ás 16:46
Para o froito das coníferas, ver artigo piña
En xeometría, un cono recto é un sólido de revolución xerado polo xiro dun triángulo rectángulo arredor dun dos seus catetos. O círculo conformado polo outro cateto denomínase base e o punto onde conflúen as xeratrices denomínase vértice.
A xeratriz dun cono é cada un dos segmentos cuxos extremos son o vértice e un punto da circunferencia da base.
A altura dun cono é a distancia do vértice ao plano da base. Nos conos rectos será a distancia do vértice ao centro da circunferencia da base.
Clasificación
- Cono recto, se o vértice equidista da base circular.
- Cono oblicuo, se o vértice non equidista da súa base.
- Cono elíptico, se a base é unha elipse. Poden ser rectos ou oblicuos.
Propiedades
Área da superficie cónica
A área da superficie do cono recto é:
onde r é o radio da base e g a lonxitude da xeratriz do cono recto.
A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude .
Desenvolvemento dun cono recto
O desenvolvemento plano dun cono recto é un sector circular e un círculo.
O sector circular está delimitado por dúas xeratrices, sendo a medida do lado curvo igual á lonxitude da circunferencia da base.
A forma de calcular a distancia a no desenvolvemento é coa ecuación de
onde r é o radio da base e h é a altura do cono.
O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula:
.
Volume dun cono
O volume dun cono de radio e altura é 1/3 do volume do cilindro que posúe as mesmas dimensións:
A ecuación obtense mediante ,
onde é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura , neste caso .
Cono oblicuo
Un cono oblicuo é aquel cono cuxo eixe de revolución non é perpendicular á súa base.
Poden ser de dous tipos: de base circular ou de base elíptica. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo ao seu eixe de revolución.
A base é un círculo ou unha elipse, e a altura é o segmento que contén o vértice, sendo perpendicular ao plano da base; pero non é coincidente co eixe do cono.
Superficie
A superficie lateral dun cono oblicuo é un triángulo curvilíneo, con dúas xeratrices por lados e base semi-elíptica.
A superficie da base dun cono oblicuo é un círculo ou unha elipse.
Volume
A ecuación empregada para calcular o volume dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto:
onde r é o radio da base e h a altura do cono oblicuo.
A ecuación do volume dun cono oblicuo de base elíptica é:
sendo a e b os semieixes da elipse e h a altura do cono oblicuo.
A xustificación das dúas fórmulas anteriores baséase no principio de Cavalieri, cuxo enunciado é o seguinte:
"Se dous corpos teñen a mesma altura e ademais teñen igual área nas súas seccións planas realizadas a unha mesma altura, posúen entón igual volume."
Seccións cónicas
- Artigo principal: Sección cónica.
Ao cortar cun plano unha superficie cónica, obtéñense distintas figuras xeométricas: as seccións cónicas. Dependendo do ángulo de inclinación e a posición relativa, poden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérboles.
Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice).
As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas.
Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión.
Ecuación en coordenadas cartesianas
En xeometría analítica e xeometría diferencial, o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, unha ecuación do tipo:
Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función:
que é chamada parametrización do cono.
Por exemplo, no caso que a = b (non nulos), este conxunto é obtido a partir de rotar a recta respecto ao eixe z, e por iso é chamada parametrización de revolución.
O cono non é unha superficie regular, pois posúe unha singularidade: o seu vértice; quitándoo convértese nunha superficie regular disconexa e aberta. Entre as súas características, podemos destacar que é unha superficie regrada (é dicir que se pode xerar polo movemento dunha recta), e é desenvolvible, é dicir, que se pode despregar sobre un plano; tecnicamente isto exprésase dicindo que a súa curvatura gaussiana é nula (como no plano ou o cilindro).
Véxase tamén
Outros artigos
Ligazóns externas
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Conos |
- Cono en MathWorld (en inglés)
- Cono xeneralizado en MathWorld (en inglés)
- Seccións cónicas (en castelán)