Anel (álxebra)

Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (A) e dúas operacións: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), e o produto * é asociativo e ten a propiedade distributiva respecto da suma. Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.

O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

1. Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
2. A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para a suma: para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
5. A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
6. Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
7. A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
9. A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Definición formal

Sexa A un conxunto non baleiro, e sexan $\star$ e $\circ$ dúas operacións binarias en A, dise que o conxunto $(A,\star ,\circ )\,$ é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:

1.	A é pechado baixo a operación $\star$.	$\forall a,b\in A,a\star b\in A$
2.	A operación $\star$ é asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$
3.	A operación $\star$ ten a n como elemento neutro.	$\forall a\in A,a\star n=n\star a=a$
4.	Existe un elemento simétrico para $\star$.	$\forall a\in A,\exists b\in A,a\star b=b\star a=n$

Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:

5.

A operación $\star$ é conmutativa.

$\forall a,b\in A,a\star b=b\star a$

Para definir un anel, é necesario agregar tres condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

6.	A é pechado baixo a operación $\circ$.	$\forall a,b\in A,a\circ b\in A$
7.	A operación $\circ$ é asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
8.	A operación $\circ$ é distributiva respecto de $\star$.	$\forall a,b,c\in A,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)\\(a\star b)\circ c=(a\circ c)\star (b\circ c)\\\end{array}}\right.$

E agregando unha novena condición, defínese un anel conmutativo:

9.

A operación $\circ$ é conmutativa.

$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$

Definición sintética

Usando Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin:

Un anel R é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condición:

• R é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0;
• R é un semigrupo para a multiplicación;
• a multiplicación é distributiva (aos dous lados) respecto á adición.

Exemplos

• O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos. con la adición y múltiplicación usuales.
• El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación es un anillo no conmutativo.
• El conjunto Q(?) de los números reales: m +n? donde m, n están en Q, conjunto de los racionales y ? es el real que ?*? = 3. Leyes de composición: adición y multiplicación.
• El conjunto Z[6] de los restos módulo 6; con la adición y multiplicación de restos; es un anillo finito con divisores de 0.
• El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.

Elementos destacados nun anel

• Elemento cero: denotado por $0$. É o neutro para a suma.

Observación: Sexa A un anel arbitrario. $0x=0\;\forall x\in A$ Demostración: $0x=(0+0)x=0x+0x$. Logo $0x=0x+0x$. Restando o inverso aditivo de $0x$, que existe dado que A é un grupo para a suma, $0x-0x=0x$ Pero $0x-0x=0$. Finalmente $0=0x\forall x\in A$

• Elemento unitario: se un elemento, que denotamos 1, cumpre $1\cdot a=a\cdot 1=a$ para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario.

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa $a\in Aa=a1=a0=0$ Logo, $\forall a\in A,a=0$

• Inverso multiplicativo: se estamos nun anel que posúa un elemento unitario, $b$ é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de $a$ se $b\cdot a=1$. Así mesmo, $c$ é inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de $a$ si $a\cdot c=1$. Un elemento $a^{-1}$ se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de $a$ si $a^{-1}$ es inverso por la izquierda de $a$ e inverso por la derecha de $a$, es decir, $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$.

Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).

• Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.

• Divisor do cero: un elemento $a\neq 0$ é divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

• Elemento regular: un elemento $a\neq 0$ de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.

• Elemento idempotente: es cualquier elemento $e$ del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que $e\cdot e=e$ (esto se suele escribir como $e^{2}=e$). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.

• Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento $x$ del anillo para el que existe un número natural $n$ de forma que $x^{n}=0$ (donde $x^{n}$ se define por recurrencia: $x^{0}=1$, $x^{n}=x\cdot x^{n-1}$). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Tipos de aneis

Algúns tipos destacables de aneis son:

• Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anil abeliano).

• Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.

• Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.

• Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.

• Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).

• Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.

• Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

• Anillo euclídeo. El nombre según A.I. Kostrikin. Un dominio de integridad R se dice que es un anillo euclideo si para cualquier elemento x distinto de 0 en R está determinado un entero n(x) mayor o igual que 0 y cumple:

i)Para x e y elementos cualesquiera de R, ninguno nulo, n(x) menor o igual que n(xy).

ii) Para x, y cualesquiera, dos elementos no nulos a la vez de R, existen q y r en R, de modo que x=qy+r, siendo r=0 o n(r) menorque n(y).

• n(x) es una aplicación de R* en Z≥0, donde R* es el anillo sin su 0.

Son anillos euclídeos: El anillo de los enteros, el de los enteros gaussianos y los anilllos de polinomios, el de los enteros pares.

Fraleigh llama dominio euclidiano.

Subsistemas notables

Subaneis e ideais

Un subanillo $S$ de un anillo $R$ =(A,+,·) es un subconjunto $S\subset R$ que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si $a,b\in S$, entonces $a+b\in S$ y $a\cdot b\in S$. Si $1\in R$ (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que $1\in S$. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de $R$, y sí lo será si $R$ no es unitario.

Un subanillo $S$ es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si $R\neq S$.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, $(S,+)$ es un subgrupo de $(R,+)$.

Pero en la Teoría de Anillos hay un tipo de subconjunto más notable aún que el de subanillo, el de ideal.

Un subconjunto $I\subset R$ es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si $(I,+)$ es subgrupo de $(R,+)$ y dados cualesquiera $r\in R$ y $x\in I$ se tiene que $r\cdot x\in I$.

Un subconjunto $I\subset R$ es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si $(I,+)$ es subgrupo de $(R,+)$ y dados cualesquiera $r\in R$ y $x\in I$ se tiene que $x\cdot r\in I$.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero (del anillo), o simplemente que es un ideal (del anillo).

La propiedad conmutativa nos asegura que en todo anillo conmutativo todo ideal por la izquierda es ideal por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal $I$ (por la izquierda, por la derecha o bilátero) se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, $I\neq R$.

Unidades

Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario $(R,+,\cdot ,1_{R})$ se le llama conjunto de unidades (del anillo), y se le denota por $U(R)$.

Si $I$ es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario $R$ (Nota: R es el anillo unitario, $U(R)$ son sus unidades o elementos invertibles, entonces $I\cap U(R)=\varnothing$, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Centro

O centro dun anel $(R,+,\cdot )$ (denotado por $Z(R)$) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir $Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}$. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que $0\in Z(R)$. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., $R=Z(R)$.

• O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.