Desigualdades QM-AM-GM-HM
En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que son números reais positivos. Daquela
- </math>[1]
Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.
Proba[editar | editar a fonte]
Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).
Desigualdade AM-QM[editar | editar a fonte]
A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, establecendo un vector cos valores (1, 1, ...), temos :
- polo tanto . Para os positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.
Desigualdade HM-GM[editar | editar a fonte]
O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos , e supera pola desigualdade AM-GM. implica a desigualdade:
O caso n=2[editar | editar a fonte]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/HM-GM-AM-QM_inequality_n%3D2_case_visualization_.jpg/220px-HM-GM-AM-QM_inequality_n%3D2_case_visualization_.jpg)
- para todos os [2]
que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.
Supoña AC=x1 e BC=x2. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Comparison_mean_values.svg/675px-Comparison_mean_values.svg.png)
Exemplo[editar | editar a fonte]
Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.
Para e en particular, isto resulta en .
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Djukić, Dušan (2011). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2009. Problem books in mathematics. International mathematical olympiad. New York: Springer. p. 7. ISBN 978-1-4419-9854-5.
- ↑ 2,0 2,1 Sedrakyan, Hayk; Sedrakyan, Nairi (2018). Sedrakyan, Hayk; Sedrakyan, Nairi, eds. The HM-GM-AM-QM Inequalities. Algebraic Inequalities. Problem Books in Mathematics (Cham: Springer International Publishing). p. 23. ISBN 978-3-319-77836-5. doi:10.1007/978-3-319-77836-5_3. Consultado o 2023-11-26.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Desigualdades QM-AM-GM-HM |
Outros artigos[editar | editar a fonte]
Ligazóns externas[editar | editar a fonte]
- The HM-GM-AM-QM Inequalities
- Useful inequalities cheat sheet meter "means" no lado dereito da páxina 1