Produto cartesiano

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na Matemática, dados dous conxuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto directo) dos dous conxuntos (escrito como X × Y) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y.

X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}.

O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.

Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa

X = \{\mathrm{A}, \mathrm{K}, \mathrm{Q}, \mathrm{J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\}

e o Y é o dos catro paus:

Y = {♠, ♥, ♦, ♣}

entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:

X × Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }.

Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (x,y), onde x e y son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano ). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.

Cardinal[editar | editar a fonte]

O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:

|X \times Y| = |X| \cdot |Y|

Xeneralización[editar | editar a fonte]

O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:

X1 × ... × Xn = { (x1,... ,xn) | x1 pertence a X1 e ... e xn pertence a Xn }

ou intuitivamente (X1 × ... × Xn-1) × Xn.

Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos:

{1, 2, 3}

o conxunto M con dous elementos:

{a,b},

e o conxunto N con 2 elementos:

{$, %},

o produto cartesiano L × M × N é:

{(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }

Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

Notación potencial[editar | editar a fonte]

Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:

\begin{matrix} 
& \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X } & = X^n \\ & n \mathrm{veces} 
\end{matrix}

Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como \mathbb{R}^3.

Produto infinito[editar | editar a fonte]

A observación de que a estrutura do produto cartesiano X^n\, ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe X suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.

Sexa \Lambda\, un conxunto (non-vacío), chamado conxunto de índices. Sexa X_{\lambda}\, un conxunto definido para cada índice \lambda \in \Lambda\, (poden ser iguais ou non). Entón o produto destes conxuntos é definido por:

  • \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \, \ f(a) \in X_a \} \,

Exemplo[editar | editar a fonte]

Sexa \Lambda = \mathbb{N^\star}\,, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,. Entón \prod X_i\, é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.

Proxección canónica[editar | editar a fonte]

As funcións máis importantes que teñen como dominio un produto cartesiano son as proxeccións canónicas.

No caso finito, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna a i-ésima coordenada.

Ou sexa:

  • \pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,

No caso infinito, como cada elemento de \Pi_{\lambda} X_{\lambda}\, é unha función, temos que:

  • \pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • En \mathbb{R}^2\,, as dúas proxecións canónicas son:
\pi_1(x, y) = x\,
\pi_2(x, y) = y\,
  • No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto \Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo:
\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,

Produtos de Estruturas Matemáticas[editar | editar a fonte]

Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo: