Principio de Bernoulli

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Esquema do principio de Bernoulli.

O principio de Bernoulli, tamén denominado ecuación de Bernoulli ou trinomio de Bernoulli, describe o comportamento dun fluído movéndose ao longo dunha liña de corrente. Foi exposto por Daniel Bernoulli na súa obra Hidrodinámica (1738) e expresa que nun fluído ideal (sen viscosidade ni rozamento) en réxime de circulación por un conduto cerrado, a enerxía que posúe o fluído permanece constante ao longo do seu percorrido. A enerxía dun fluído en calquera momento consta de tres compoñentes:

  1. Cinética: é a enerxía debida á velocidade que posúa o fluído.
  2. Potencial gravitacional: é a enerxía debido á altitude que un fluído posúa.
  3. Enerxía de fluxo: é a enerxía dun fluído debido á presión que posúa.

A seguinte ecuación é a coñecida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli), e consta dos tres termos arriba citados.


\frac{V^2 \rho}{2}+{P}+{\rho g z}=constante

onde:

Para aplicar a ecuación hai que ter en conta que:

  • A viscosidade (fricción interna) é cero. É dicir, considérase que a liña de corrente sobre a cal se aplica a fórmula se atopa nunha zona 'non viscosa' do fluído.
  • O caudal é constante.
  • O fluxo é incompresible, sendo ρ constante.
  • A ecuación aplícase a unha liña de corrente ou a un fluxo irrotacional.

Aínda que o nome da ecuación se lle debe a Bernoulli, a forma arriba exposta foi presentada por primeira vez por Leonhard Euler.

Un exemplo de aplicación do principio atopámolo nun fluxo de auga dunha tubaxe.

Características e consecuencias[editar | editar a fonte]

Cada unha das partes desta ecuación ten unidades de lonxitude, e á vez representan formas distintas de enerxía; en hidráulica é común expresar a enerxía en termos de lonxitude, e fálase de altura ou carga. Así na ecuación de Bernoulli os termos adoitan chamarse alturas de velocidade, de presión e altura hidráulica; o termo z pódese agrupar con P/\gamma para dar lugar á chamada altura ou carga piezométrica.

 \overbrace{{V^2 \over 2 g}}^{\mbox{carga de velocidade}}+\overbrace{\underbrace{\frac{P}{\gamma}}_{\mbox{carga de presión}} + z}^{\mbox{carga piezométrica}} = \overbrace{H}^{\mbox{Altura hidráulica ou carga debida á altura}}

Tamén podemos reescribir este principio en forma de suma de presións multiplicando toda a ecuación por \gamma, desta forma o termo relativo á velocidade denominarase presión dinámica, e os termos de presión e altura agrúpanse na presión estática.

Esquema do efecto Venturi.
 \underbrace{\frac{\rho V^2}{2}}_{\mbox{presión dinámica}}+\overbrace{P+ \gamma z}^{\mbox{presión estática}}=constante

ou escrito doutro xeito máis simple:

q+p=p_0

onde

  • q=\frac{\rho V^2}{2}
  • p=P+ \gamma z
  • p_0 é unha constante

Igualmente podemos escribir a mesma ecuación como a suma da enerxía cinética, a enerxía de fluxo e a enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa:

\overbrace{\frac{{V}^2}{2}}^{\mbox{enerxía cinética}}+\underbrace{\frac{P}{\rho}}_{\mbox{enerxía de fluxo}}+\overbrace{g z}^{\mbox{enerxía potencial}} = constante

Así, o principio de Bernoulli pode ser visto como outra forma da lei da conservación da enerxía, é dicir, nunha liña de corrente cada tipo de enerxía pode aumentar ou minguar en virtude da diminución ou aumento das outras.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como o efecto Venturi, xa que a aceleración de calquera fluído nun camiño equipotencial (con igual enerxía potencial) implicaría unha diminución de presión. Este efecto explica porque os obxectos lixeiros moitas veces tenden a saírse dun automóbil en movemento cando se abren as ventás. A presión do aire é menor fóra debido a que está en movemento respecto ao que se encontra no interior, onde a presión é necesariamente maior. De forma, aparentemente, contraditoria o aire entra no vehículo, aínda que isto acontece por fenómenos de turbulencia e capa límite.

Ecuación de Bernoulli e a Primeira Lei da Termodinámica[editar | editar a fonte]

Da primeira lei da termodinámica pódese concluír unha ecuación esteticamente parecida á ecuación de Bernouilli anteriormente sinalada, pero conceptualmente distinta. A diferenza fundamental xace nos límites de funcionamento e na formulación de cada fórmula. A ecuación de Bernoulli é un balance de forzas sobre unha partícula de fluído que se move a través dunha liña de corrente, mentres que a primeira lei da termodinámica consiste nun balance de enerxía entre os límites dun volume de control dado, polo cal é máis xeral xa que permite expresar os intercambios enerxéticos ao longo dunha corrente de fluído, como son as perdas por fricción que restan enerxía, e as bombas ou ventiladores que suman enerxía ao fluído. A forma xeral desta, chamada así, "forma xenérica da ecuación de Bernoulli", é:


\frac{{V_1}^2}{2 g}+\frac{P_1}{\gamma}+z_1\frac{g}{g_c}+ W = h_f + \frac{{V_2}^2}{2 g}+\frac{P_2}{\gamma}+z_2\frac{g}{g_c}

onde:

  • \gamma é o peso específico (\gamma=\rho g).
  • W é unha medida da enerxía que se lle subministra ao fluído.
  • h_f é unha medida da enerxía empregada en vencer as forzas de fricción a través do percorrido do fluído.
  • Os subíndices 1 e 2 indican se os valores están dados para o comezo ou o final do volume de control respectivamente.
  • g = 9,81 m/s2 e gc = 1 kgf·m/(N·s2)

Suposicións[editar | editar a fonte]

A ecuación arriba escrita é un derivado da primeira lei da termodinámica para fluxos de fluído coas seguintes características.

  • O fluído de traballo, é dicir, aquel que flúe e que estamos considerando, ten unha densidade constante.
  • Non existe cambio de enerxía interna.

Demostración[editar | editar a fonte]

Escribamos a primeira lei da termodinámica cun criterio de signos termodinámico conveniente:


w + q = \Delta h + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z

Recordando a definición da entalpía h=u + Pv, onde u é a enerxía interna e v é o volume específico v=1/\rho. Podemos escribir:


w + q = \Delta u + \Delta \frac{P}{\rho} + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z

que polas suposicións declaradas arriba pódese reescribir como:


w + q = \frac{P_2}{\rho} - \frac{P_1}{\rho} + \frac{{V_2}^2}{2} - \frac{{V_1}^2}{2} + g (z_2 - z_1)

que dividindo todo entre a aceleración da gravidade


\frac{w}{g} + \frac{q}{g} = \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1

Os termos do lado esquerda da igualdade son relativos aos fluxos de enerxía a través do volume de control considerado, é dicir, son as entradas e saídas de enerxía do fluído de traballo en formas de traballo (w) e calor (q). O termo relativo ao traballo w/g consideraremos que entra ao sistema, denominándoo h e ten unidades de lonxitude, ao igual que q/g, que chamaremos h_f, que sae do sistema, xa que consideraremos que só se intercambia calor por vía da fricción entre o fluído de traballo e as paredes do conduto que o contén. Así a ecuación queda:


h -h_f= \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1

ou como a escribimos orixinalmente:


\frac{{V_1}^2}{2 g}+\frac{P_1}{\gamma}+z_1 + h = h_f + \frac{{V_2}^2}{2 g}+\frac{P_2}{\gamma}+z_2

Así, podemos observar que o principio de Bernoulli é unha consecuencia directa da primeira lei da termodinámica, ou se se quere, outra forma desta lei. Na primeira ecuación presentada neste artigo o volume de control reducírase a tan só unha liña de corrente sobre a cal non había intercambios de enerxía co resto do sistema, de aquí a suposición de que o fluído debería ser ideal, é dicir, sen viscosidade nin fricción interna, xa que non existe un termo h_f entre as distintas liñas de corrente.

Aplicacións do Principio de Bernoulli[editar | editar a fonte]

Cheminea
As chemineas sobresaen a certa altura para aproveitar que a velocidade do vento é máis constante e elevada a maiores alturas. Canto máis rapidamente sopre o vento sobre a boca dunha cheminea, máis baixa será a presión e maior é a diferenza de presión entre a base e a boca da cheminea, en consecuencia, os gases de combustión extráense mellor.

Tubería
A ecuación de Bernoulli e a ecuación de continuidade tamén nos indican que se reducimos a área transversal dunha tubería para que aumente a velocidade do fluído que pasa por ela, redúcese a presión.

Natación
A aplicación dentro deste deporte vese directamente cando as mans do nadador cortan a auga xerando unha menor presión e maior propulsión.

Carburador de automóbil
Nun carburador de automóbil, a presión do aire que pasa a través do corpo do carburador, diminúe cando pasa por un estrangulador. Ao diminuír a presión, a gasolina flúe, vaporízase e mesturase coa corrente de aire.

Dispositivos de Venturi
Na osixenoterapia, a maior parte de sistemas de subministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, que están baseados no principio de Bernoulli.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]