Paradoxo de San Petersburgo

En teoría da probabilidade e teoría de decisións, o Paradoxo de San Petersburgo é un paradoxo que mostra unha variábel aleatoria cuxo valor é, cunha probabilidade alta, moi baixo, mais cun valor agardado infinito. Nesta situación, a teoría de decisións parece recomendar unha acción que ningunha persoa racional seguiría. Esa aparencia desaparece cando se ten en conta a utilidade.

O paradoxo foi enunciado por Daniel Bernoulli en 1738.

Formulación

Proponse un xogo de azar no que pagas unha aposta inicial fixa. Consiste no lanzamento dunha moeda repetidamente ata que aparece a primeira "cara". Unha vez aparece, gañas 1 céntimo se a cara aparece no primeiro lanzamento, 2 céntimos se aparece no segundo, 4 céntimos se aparece no terceiro, 8 no cuarto etc., dobrando o premio en cada lanzamento adicional. Así, gañarías 2^k−1 céntimos se a moeda debe lanzarse k veces.

¿Canto estarías disposto a pagar para xogar a este xogo?

Comentario

A probabilidade de que a primeira "cara" apareza no lanzamento k é de:

$p_{k}={\frac {1}{2^{k}}}.$

A probabilidade de que gañes máis de $10.24 (por exemplo, 2¹⁰ céntimos) é menor que unha entre mil. A probabilidade de que gañes máis de $1 é menor que unha entre cen. A pesar diso ¡o valor agardado do premio é infinito!

Para calculalo:

$E=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}2^{k-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over 2}=\infty .$

Esta suma diverxe a infinito. Así, de acordo á teoría tradicional do valor agardado, non importa canto pagues por entrar no xogo, porque sairás gañando a longo prazo (imaxina pagar 1 mil millóns cada vez, para gañar a maior parte das veces só un par de céntimos). A idea consiste en que as raras ocasións nas que gañes unha cantidade elevada pagarán sobradamente os centos de billóns que terás que pagar para xogar.

Se se aplica inxenuamente a teoría de decisións sen ter en conta a utilidade, obtense que pagaría a pena investir en calquera aposta inicial, sen importar a súa contía. Na práctica, ningunha persoa racional pagaría máis duns poucos céntimos para xogar.

Débese considerar ademais que ninguén ten nin o tempo nin o diñeiro necesario para xogar unha e outra vez para chegar ao longo prazo, ou aínda a unha aproximación boa do mesmo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bernoulli, Danel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica vol 22 (1954), pp23–36.

Outros artigos

• Teoría de xogos
• Probabilidade

Ligazóns externas

• St Petersburg Paradox - Stanford Encyclopaedia of Philosophy (en)