Mecánica hamiltoniana

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A mecánica hamiltoniana foi inventada en 1833 por Hamilton. Como a mecánica lagranxiana, é unha reformulación da mecánica clásica.

Características[editar | editar a fonte]

A mecánica hamiltoniana pode ser formulada por si mesma, usando os espazos simplécticos, sen referir a conceptos anteriores de forza ou da mecánica lagranxiana.

Na primera parte do artigo, a modo de conexión, amósase como xurde historicamente do estudo da mecánica lagranxiana.

Na mecánica lagranxiana, as ecuacións do movemento son dependentes das coordenadas xeralizadas:

qj para j=1... N (coordenadas de posición xeralizada) e

\left\{ \dot{q_j} | j=1,...,N \right\}. (coordenadas de velocidade xeralizada)

escríbese o lagranxiano como

L(q_j, \dot{q_j}, t),

coas variables anteriores representando todas as variables N dese tipo. A mecánica hamiltoniana apunta a substituír as variables xeralizadas da velocidade polas variables xeralizadas do momento, tamén coñecidas como momento conxugado. Para cada velocidade xeralizada, hai un momento conxugado correspondente, definido como

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q_j}}.

nas coordenadas cartesianas, os momentos xeralizados resultan ser os momentos lineais físicos. En coordenadas polares, o momento xeralizado que corresponde á velocidade angular é o momento angular físico. Para unha eleción arbitraria de coordenadas xeralizadas, pode non ser posible obter unha interpretación intuitiva dos momentos conxugados. O hamiltoniano é a transformación de Legendre do lagranxiano

H \left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q_i} p_i - L(q_j,\dot{q_j},t).

Se as ecuacións da transformación que definen as coordenadas xeralizadas son independentes de t, pode ser demostrado que H é a enerxía total E = T + V.

Cada beira na definición de H produce un diferencial:

\begin{matrix}
dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt \right]\qquad\qquad\quad\quad  \\  \\
  &=& \sum_i \left[ \dot{q_i} dp_i + p_i d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q_i}}\right) d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \right].
\end{matrix}

substituíndo a definición anterior dos momentos conxugados nesta ecuación e emparellando coeficientes, obtemos as ecuacións do movemento da mecánica hamiltoniana, coñecidas como ecuacións canónicas de Hamilton:


{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p_j}, \qquad
{\partial H \over \partial p_j} = \dot{q_j}, \qquad
{\partial H \over \partial t  } = - {\partial L \over \partial t}.

As ecuacións de Hamilton son ecuacións diferenciais de primeira orde, e por tanto máis doadas de solucionar que as ecuacións de Lagrange, que son de segunda orde. Non embargantes, os pasos que levan ás ecuacións do movemento son más dificultosos que en mecánica lagranxiana - comenzando coas coordenadas xeralizadas e o lagranxiano, debemos calcular o hamiltoniano, expresar cada velocidade xeralizada en termos dos momentos conxugados, e substituír as velocidades xeralizadas no hamiltoniano polos momentos conxugados.

En última instancia, producirá a misma solución que a mecánica lagranxiana e as leis de Newton do movemento. A atracción principal do enfoque hamiltoniano é que proporciona a base para resultados máis profundos na teoría da mecánica clásica.

Formalismo matemático[editar | editar a fonte]

Se temos un espazo simpléctico, que está equipado naturalmente cun corchete de Poisson e unha función diferenciable H sobre ela, entón H define unha familia de transformacións uniparamétricas con respecto ó tempo e isto chámase mecánica hamiltoniana. En particular,

\frac{\partial}{\partial t} f=\{f,H\}.

así, se temos unha distribución de probabilidade, ρ, entón

\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\rho ,H\}.

A isto chámaselle Teorema de Liouville. Cada función diferenciable, G, sobre a variedade simpléctica xera unha familia uniparamétrica de simplectomorfismos e se {G, h}=0, entón G consérvase e os simplectomorfismos son transformacións de simetría.

Álxebras de Poisson[editar | editar a fonte]

Hai outra xeralización que podemos facer. En troques de mirar a álxebra de funcións diferenciables sobre unha variedade simpléctica, a mecánica hamiltoniana pódese formular nunha álxebra de Poisson real unital conmutativa xeral. Un estado é unha funcional lineal contínua na álxebra de Poisson (equipada de algunha topoloxía convinte) tales que para calquera elemento da álxebra, A, A^2 vai a ser un número real non negativo.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]