Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz
En matemáticas, a conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz é un principio local-global para ecuacións diferenciais ordinarias lineais, relacionado coa teoría diferencial de Galois e, nun sentido laxo, análogo ao resultado do teorema da densidade de Chebotarev considerado como o caso polinómico. É unha conxectura de Alexander Grothendieck de finais da década de 1960, e aparentemente non publicada por el de ningunha forma.
O caso xeral segue sen resolverse, mália os últimos avances; está relacionado con investigacións xeométricas que implican foliacións alxébricas.
Formulación[editar | editar a fonte]
No máis sinxelo enunciado posible a conxectura pódese enunciar esencialmente para un sistema vectorial escrito como
para un vector v de tamaño n e unha matriz A de dimensión n×n de funcións alxébricas con coeficientes de numéricos alxébricos. A cuestión é dar un criterio para decidir cando hai un conxunto completo de solucións de funcións alxébricas, isto é, unha matriz fundamental (é dicir, n solucións vectoriais colocadas nunha matriz de bloques). Por exemplo, unha pregunta clásica perguntaba pola ecuación hiperxeométrica: cando ten un par de solucións alxébricas, en función dos seus parámetros? A resposta coñécese clásicamente como a lista de Schwarz. En termos de monodromía, a cuestión é identificar os casos de grupo monodrómico finito.
Ao reformular a cuestión e pasar a un sistema maior, o caso esencial é para as funcións racionais en A e os coeficientes de números racionais. Entón unha condición necesaria é que para case todos os números primos p, o sistema definido por redución módulo p tamén debería ter un conxunto completo de solucións alxébricas, sobre o campo finito de p elementos.
A conxectura de Grothendieck é que estas condicións necesarias, para case todos os p, deberían ser suficientes. A conexión coa p-curvatura é que a condición mod p indicada é o mesma que dicir que a p-curvatura, formada por unha operación de recorrencia en A, [1] é cero; polo que outra forma de dicilo é que a p -curvatura de 0 para case todos os p implica solucións alxébricas suficientes da ecuación orixinal.
Formulación de Katz para o grupo de Galois[editar | editar a fonte]
Nicholas Katz aplicou técnicas de categoría tannakiana para demostrar que esta conxectura é esencialmente o mesmo que dicir que o grupo diferencial de Galois G (ou, en rigor, a álxebra de Lie g do grupo alxébrico G, que neste caso é o pechamento de Zariski do grupo monodrómico) pódese determinar mediante información mod p, para unha determinada clase ampla de ecuacións diferenciais. [2]
Progreso[editar | editar a fonte]
Benson Farb e Mark Kisin demostraron unha ampla clase de casos; [3] estas ecuacións están nunha variedade X localmente simétrica suxeita a algunhas condicións teóricas de grupos. Este traballo baséase nos resultados anteriores de Katz para as ecuacións de Picard-Fuchs (no sentido contemporáneo da conexión Gauss-Manin), tal como amplificaba André na dirección de Tannaki. Tamén aplica unha versión de superrixidez particular dos grupos aritméticos. Outros avances foron feitos mediante métodos aritméticos.[4]
Historia[editar | editar a fonte]
Nicholas Katz relacionou algúns casos coa teoría da deformación en 1972, nun artigo onde se publicou a conxectura. [5] Desde entón publicáronse reformulacións. Existen propostas de q-análogo para ecuacións diferenciais. [6]
Grothendieck expuxo aconxectura en discusión pública na primavera de 1969, mais non escribiu nada sobre o tema. A idea veu a través da área da cohomoloxía cristalina, naquel momento desenvolvida polo seu alumno Pierre Berthelot. Dalgunha maneira desexando equiparar a noción de "nilpotencia" na teoría das conexións, coa técnica de estrutura de potencia dividida (ou PD-estrutura) que se converteu en estándar na teoría cristalina. Grothendieck produciu a conxectura como un subproduto.
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Daniel Bertrand, Bourbaki Seminar 750, 1991-2, section 5.
- ↑ ""A conjecture in the arithmetic theory of differential equations"" (PDF) 110. 1982: 203–239. doi:10.24033/bsmf.1960. Consultado o free.
- ↑ ". "Rigidity, Locally Symmetric Varieties, and the Grothendieck–Katz Conjecture"" (PDF) 2009. 2009: 4159–4167. doi:10.1093/imrn/rnp082.
- ↑ Chambert-Loir, Antoine (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv:math/0103192.
- ↑ "Algebraic solutions of differential equations (p-curvature and the Hodge filtration)" 18. 1972: 1–118. Bibcode:1972InMat..18....1K. doi:10.1007/BF01389714.
- ↑ "Arithmetic theory of q -difference equations"" 150. 2002: 517–578. Bibcode:2002InMat.150..517D. arXiv:math/0104178. doi:10.1007/s00222-002-0241-z.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Nicholas M. Katz, Rigid Local Systems, capítulo 9.
- Jean-Benoît Bost, Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields, Publications Mathématiques de L'IHÉS, Volume 93, Number 1, September 2001
- Yves André, Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck–Katz et un problème de Dwork, in Geometric Aspects of Dwork Theory (2004), editors Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
- Anand Pillay (2006), Differential algebra and generalizations of Grothendieck's conjecture on the arithmetic of linear differential equations