Continuidade uniforme

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Dados dous espazos métricos (X, d_X) e (Y, d_Y), e M \subseteq X entón unha función f : M\to Y dise uniformemente continua en M se para calquera número real \epsilon > 0 existe \delta_\epsilon >0 tal que para todo x_1,x_2 \in M con d_X(x_1,x_2)<\delta, tense que d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon.

No espazo euclidiano \R, uhna función f : \R\to \R é uniformemente continua nun intervalo \ A se para calquera \epsilon > 0 existe algún \delta_\epsilon >0 tal que para todo x,y \in A se cumpre que se |x-y|<\delta, entón |f(x)-f(y)|<\epsilon

Unha función uniformemente continua difire dunha función continua na dependencia de \delta, pois no primeiro caso só depende de \epsilon, mentres que no segundo tamén depende do punto considerado. De aí a denominación de "uniforme".

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • A función 1/x con x>0 é continua pero non é uniformemente continua
  • A función x é uniformemente continua en calquera intervalo compacto (i.e. pechado e limitado).