Alcance

Alcance dun proxectil nun tiro parabólico.

O alcance en Física é a distancia acadada por un tiro parabólico libre ideal en ausencia de rozamento por resistencia do aire e coa única influencia dunha velocidade inicial e a gravidade. O seu valor está en función do ángulo e da velocidade inicial, e pódese calcular como segue:

Datos previos

Para os cálculos nun tiro parabólico destas características, tómase coma vector de posición inicial o da posición de tiro, e polo tanto: $r_{0x} = 0 \,$ (1) e $r_{0y} = 0 \,$ (2)

Tamén se sabe que no punto de alcance, a altura é igual á inicial, e polo tanto nula:

$r_{ay} = 0 \,$ (3)

Ademais, a descomposición do vector da velocidade inicial permíte saber que:

$v_{0x} = v_0 \, \cos \alpha$ (4) e $v_{0y} = v_0 \, \sin \alpha$ (5)

Unha última premisa do problema é que $a_x = 0 \,$ (6), debido a que no movemento só exercen influencia

forzas verticais e non horizontais.

Cálculo

Sabendo que o vector de posición en todo momento é: $r_y = r_{0y} + v_{0y} \, t + \frac{1}{2} a_y \, t^2$

simplemente debemos igualar a cero debido á altura de alcance nula (2):

$0 = r_{0y} + v_{0y} \, t + \frac{1}{2} a_y \, t^2$

que é unha ecuación de segundo grao do tipo $a \, t^2 + b \, t + c = 0$. Para resolvela búscanse os binomios que a fagan cero mediante a socorrida fórmula de resolución das ecuacións de segundo grao:

$t = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 \, a \, c}}{2 \, a} = \frac{-v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 - 4 \, r_{0y} \, \frac {1}{2} \, a_y}}{2 \, \frac{1}{2} \, a_y}$

e coma $r_{ay} = 0 \,$ (3) obtense

$t = \frac{-v_{oy} \pm \sqrt{v_{oy}^2}}{a_y} = \frac{-v_{oy} \pm v_{oy}}{a_y}$

que ten dúas solucións, unha é $t_0 = 0 \,$ (a solución do punto inicial, pois a súa altura neste punto tamén é nula) e a outra é $t_a = \frac{- 2 \, v_{0y}}{a_y} = \frac{2 \, v_{0y}}{g}$ (7).

---

Para calcular a distancia horizontal de alcance só hai que substituír na ecuación de $r_{0x} \,$ este tempo:

$r_{ax} = r_{0x} + v_{0x} \, t + \frac{1}{2} \, a_x \, t^2$

onde se $r_{0x} = 0 \,$ (1) e $a_x = 0 \,$ (6), substituíndo o valor de $t_a \,$ de (7), os valores da descomposición da velocidade de (4) e (5) e

as fórmulas trigonométricas do ángulo dobre:

$r_{ax} = v_{0x} \, t = v_{0x} \, \frac{- 2 \, v_{0y}}{a_y} = v_0 \, \cos \alpha \, \frac{- 2 \, v_0 \, \sin \alpha}{a_y} = \frac{v_0^2 \, 2 \, \cos \alpha \, \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \, \sin 2 \alpha}{g}$

Véxase tamén

Outros artigos

• altura
• tiro parabólico