Teorema integral de Cauchy

Na matemática, o Teorema Integral de Cauchy (tamén coñecido como Teorema de Cauchy-Goursat) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños.

Formulación

O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa $A$ un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo $\mathbb {C}$ . Sexa $f:A\rightarrow \mathbb {C}$ unha función holomorfa e sexa $\gamma$ un camiño rectificable no subconxunto $A$ no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón:

\oint _{\gamma }f(z)dz=0

A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa $\gamma :[a,b]\to A$ unha curva pechada suave e $\gamma$ é homotópico a unha curva constante.

Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa $A\subseteq \mathbb {C}$ un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa $f:A\to \mathbb {C}$ unha función holomorfa e sexa $\gamma :[a,b]\to A$ unha curva pechada suave.

Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo

Se $f (z)$ é unha función holomorfa nunha rexión $A$ aberta e $\ gamma$ é unha curva en $A$ de $z_{0}$ a $z_{1}$ , entón,

\int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).

A maiores, cando $f (z)$ ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta $A$ , entón a integral de camiño ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$ é independente do camiño para tódolos camiños en $A$ .

Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial $a$ e outro final $b$ , sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final:

\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).

Caso no que non aplica

Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa $f'(z)$ existe en todas as partes en $A$ . Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.

A condición de que $A$ sexa simplemente conexo significa que $A$ non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos

\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]

que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña

\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i

é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non aplica aquí xa que $f(z)=1/z$ non está definida (e certamente non é holomorfa) en $z=0$ .

O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado $A$ , un subconxunto aberto simplemente conexo de $\mathbb {C}$ , podemos debilitar as suposicións de que $f$ é holomorfa en $A$ e continua en ${\textstyle {\overline {A}}}$ para que $\gamma$ sexa un bucle sinxelo rectificábel en ${\textstyle {\overline {A}}}$ .^[1]

O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos.

Proba

Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de $f=u+iv$ debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por $\gamma$ , e a maiores na veciñanza aberta $A$ desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.

Podemos dividir o integrando $f$ , así como o diferencial $dz$ nas súas compoñentes reais e imaxinarias:

f=u+iv

.

dz=dx+i\,dy

.

Neste caso temos

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)

.

Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado $\gamma$ cunha área integral en todo o dominio $D$ que está choída por $\gamma$ do seguinte xeito:

\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

.

\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

.

Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio $D$ , $u$ e $v$ deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo:

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

.

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

.

Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero

\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0

.

\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0

.

Isto dá o resultado desexado

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

.

Notas

↑ Walsh, J. L. (1933-05-01). "The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves". Proceedings of the National Academy of Sciences 19 (5): 540–541. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781. doi:10.1073/pnas.19.5.540.

Véxase tamén

Bibliografía

Ahlfors, Lars (2000). Complex Analysis. McGraw-Hill series in Mathematics (en inglés). McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
Kodaira, Kunihiko (2007). Cambridge University Press, ed. Complex Analysis (en inglés). ISBN 978-0-521-80937-5.
Lang, Serge (2003). Complex Analysis. Springer Verlag GTM (en inglés). Springer Verlag.
Rudin, Walter (2000). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill series in mathematics. McGraw-Hill.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Cauchy integral theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Theorem". MathWorld.
Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.

[1] Walsh, J. L. (1933-05-01). "The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves". Proceedings of the National Academy of Sciences 19 (5): 540–541. ISSN 0027-8424. PMC 1086062. PMID 16587781. doi:10.1073/pnas.19.5.540.

[1]