Teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Teorema de Fermat.

Pierre de Fermat, matemático.

En matemáticas, o teorema dos dous cadrados de Fermat enuncia as condicións para que un número enteiro sexa a suma de dous cadrados de enteiros, e precisa de cantos xeitos diferentes pode selo. Por exemplo, segundo este teorema, un número primo impar é a suma de dous cadrados de enteiros só se o residuo da súa división euclidiana entre 4 é 1; neste caso, os cadrados quedan determinados de xeito único, en termos de aritmética modular

$p\equiv 1{\pmod {4}}.$

Pódese verificar sobre $17=4\times 4+1$ ou $97=4\times 24+1$, que ámbolos dous se poden expresar dun único xeito como unha suma de dous cadrados $17=1^{2}+4^{2}$ e $97=9^{2}+4^{2}$; tamén, que números primos, como $7=4\times 1+3$ ou $31=4\times 7+3$, non se poden expresar como a suma de dous cadrados. Este resultado tamén é chamado sinxelamente teorema dos dous cadrados.

Inscríbese na longa historia da representación de números como a suma de cadrados que se remonta até a antigüidade. Foi expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) no século XVII, pero a primeira proba publicada coñecida é obra de Leonhard Euler, un século máis tarde. Malia isto, a súa demostración non pecha todos os interrogantes. No devir dos séculos posteriores propuxéronse novas probas e diversas xeneralizacións. Estas contribucións representaron un papel importante no desenvolvemento da póla das matemáticas chamada teoría alxébrica dos números.

A semellanza de moitas ecuacións diofantianas, é dicir, de ecuacións nas cales os coeficientes e as solucións buscadas son números enteiros ou racionais, a sinxeleza do enunciado agocha unha dificultade real na súa demostración. Algunhas das probas propostas axudaron á posta a punto de ferramentas por veces sofisficadas, como as curvas elípticas ou a xeometría dos números, relacionando así a teoría dos números elemental con outras pólas das matemáticas.

Probas

Proba de Euler por descenso infinito

Euler logrou demostrar o teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados en 1749, cando tiña corenta e dous anos. Comunicouno nunha carta a Goldbach de data 12 de abril de 1749. A proba baséase só no descenso infinito esbozado na carta. A proba completa consta de cinco pasos e publícase en dous artigos. Os catro primeiros pasos son as proposicións 1 a 4 do primeiro traballo e non se corresponden exactamente cos catro pasos seguintes. O quinto paso a continuación é do segundo artigo.48.

Para evitar ambigüidades, cero sempre será un posíbel constituínte válido de "sumas de dous cadrados", polo que, por exemplo, cada cadrado dun número enteiro é trivialmente expresábel como a suma de dous cadrados configurando un deles como cero.

1. O produto de dous números onde cada un deles é unha suma de dous cadrados, é en si mesmo unha suma de dous cadrados.

Esta é unha propiedade coñecida, baseada na identidade

$(a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}$

debida á Diofanto de Alexandría coñecida como identidade de Brahmagupta-Fibonacci ou identidade de Diofanto.

2. Se un número que é unha suma de dous cadrados é divisíbel por un primo que é unha suma de dous cadrados, entón o cociente é unha suma de dous cadrados. (Esta é a primeira proposición de Euler).

De feito, supoña, por exemplo, que $a^{2}+b^{2}$ é divisíbel por $p^{2}+q^{2}$ e que este último é primo. Entón $p^{2}+q^{2}$ divide

$(pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).$

Como $p^{2}+q^{2}$ é primo, divide un dos dous factores. Supoñamos que divide $pb-aq$. Dadi que

$(a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}$

(pola Identidade de Diofanto) dedúcese que $p^{2}+q^{2}$ debe dividir $(ap+bq)^{2}$. Polo tanto, a ecuación pódese dividir polo cadrado de $p^{2}+q^{2}$. Dividindo a expresión entre $(p^{2}+q^{2})^{2}$ obtemos:

${\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}$

e así expresamos o cociente como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

Por outro lado, se $p^{2}+q^{2}$ divide $pb+aq$, un argumento similar cúmprese se usamos a seguinte variante da identidade de Diofanto:

$(a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.$

3. Se un número que se pode escribir como unha suma de dous cadrados é divisíbel por un número que non é unha suma de dous cadrados, entón o cociente ten un factor que non é unha suma de dous cadrados. (Esta é a segunda proposición de Euler).

Supoñamos que $q$ é un número que non se pode expresar como unha suma de dous cadrados, que divide $a^{2}+b^{2}$. Escribimos o cociente, factorizado nos seus factores primos (posíbelmente repetidos), como $p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$ e por tanto $a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}$. Se todos os factores $p_{i}$ poden escribirse como sumas de dous cadrados, entón podemos dividir $a^{2}+b^{2}$ sucesivamente por $p_{1}$, $p_{2}$, etc., e aplicando o paso (2.) anterior deducimos que cada cociente sucesivo máis pequeno é unha suma de dous cadrados. Se chegamos ata $q$, entón o propio $q$ tería que ser igual á suma de dous cadrados, o que é unha contradición. Polo tanto, polo menos un dos números primos $p_{i}$ non é a suma de dous cadrados.

4. Se $a$ e $b$ son números enteiros positivos relativamente primos, todo factor de $a^{2}+b^{2}$ é unha suma de dous cadrados. (Este é o paso que usa o paso (3.) para producir un "descenso infinito" e foi a Proposición 4 de Euler. A demostración que se esboza a continuación tamén inclúe a proba da súa Proposición 3).

Sexan $a,b$ números enteiros positivos relativamente primos: sen perda de xeneralidade $a^{2}+b^{2}$ non é primo en si mesmo, se non, non hai nada que demostrar. Sexa $q$ polo tanto un factor propio de $a^{2}+b^{2}$, non necesariamente primo: queremos mostrar que $q$ é unha suma de dous cadrados. De novo, non perdemos nada ao supoñer $q>2$ xa que o caso $q=2=1^{2}+1^{2}$ é obvio.

Sexan $m,n$ números enteiros non negativos tal que $mq,nq$ son os múltiplos máis próximos de $q$ (en valor absoluto) a $a,b$ respectivamente. Nótese que as diferenzas $c=a-mq$ e $d=b-nq$ son números enteiros de valor absoluto estritamente inferiores a $q/2$: de feito, cando $q>2$ é par, mcd$(a,q/2)=1$; se non, xa que mcd$(a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}$, tamén teríamos mcd$(a,q/2)\mid b$.

Substituíndo e operando obtemos

$a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})$

definindo de forma única un enteiro non negativo $A$. Dado que $q$ divide os dous extremos desta secuencia de ecuacións, dedúcese que $c^{2}+d^{2}$ tamén debe ser divisíbel por $q$: digamos $c^{2}+d^{2}=qr$. Sexa $g$ o mcd de $c$ e $d$ que, por seren coprimos $a,b$ son relativamente primos a $q$. Así, $g^{2}$ divide $r$, polo que escribindo $e=c/g$, $f=d/g$ e $s=r/g^{2}$, obtemos a expresión $e^{2}+f^{2}=qs$ para os primos relativos $e,f$, e con $s<q/2$, xa que

$qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.$

Agora, finalmente, o paso do descenso: se $q$ non é a suma de dous cadrados, entón no paso (3.) debe haber un factor $q_{1}$ digamos de $s$ que non é a suma de dous cadrados. Pero $q_{1}\leq s<q/2<q$ e así repetindo estes pasos (inicialmente con $e,f;q_{1}$ en lugar de $a,b;q$, e así sucesivamente ad infinitum) poderemos atopar unha secuencia infinita estritamente decrecente $q,q_{1},q_{2}$ de números enteiros positivos que non son en si mesmos a suma de dous cadrados senón que teñen un factor como suma de dous cadrados relativamente primos. Dado que tal descenso infinito é imposíbel, concluímos que $q$ debe ser expresábel como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

5. Todo número primo da forma $4n+1$ é unha suma de dous cadrados. (Este é o principal resultado do segundo traballo de Euler).

Se $p=4n+1$, entón polo pequeno teorema de Fermat cada un dos números $1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}$ é congruente con 1 módulo $p$. Polo tanto, as diferenzas $2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}$ son todas divisíbeis por $p$. Cada unha destas diferenzas pódese factorizar como

$a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).$

Dado que $p$ é primo, debe dividir un dos dous factores. Se nalgún dos casos $4n-1$ divide o primeiro factor, entón no paso anterior concluímos que $p$ é en si mesma unha suma de dous cadrados (xa que $a$ e $b$ difiren en $1$, son relativamente primos). Polo tanto, abonda con demostrar que $p$ non sempre pode dividir o segundo factor.

Se divide todas as $4n-1$ diferenzas $2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}$, entón dividiría todas as $4n-2$ diferenzas de termos sucesivos, todas as $4n-3$ diferenzas de termos sucesibo, etc. Dado que as $k$-ésimas diferenzas da secuencia $1^{k},2^{k},3^{k},\dots$ son de cantidade un número igual a $k!$ (ver Diferenza finita), as $2n$-ésimas diferenzas serían todas constantes e igual a $(2n)!$, que certamente non é divisíbel por $p$. Polo tanto, $p$ non pode dividir todos os segundos factores o que demostra que $p$ é efectivamente a suma de dous cadrados.

Véxase tamén

Bibliografía

• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x² + ny². Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0. *Richard Dedekind, The theory of algebraic integers.
• L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers Vol. 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920
• Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics no. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (English Edition). Transl. by Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.
• Goldman, Jay R. (1998). The Queen of Mathematics: A historically motivated guide to Number Theory. A K Peters. ISBN 1-56881-006-7. 
• D. R. Heath-Brown, Fermat's two squares theorem. Invariant, 11 (1984) pp. 3–5.
• John Stillwell, Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-56518-9
• Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, doi 10.2307/2323918

Outros artigos

• Teorema de Legendre dos tres cadrados
• Teorema de Lagrange dos catro cadrados
• Constante de Landau-Ramanujan
• Lema de Thue
• Teorema de Friedlander-Iwaniec

Ligazóns externas

• Somme de carrés Arquivado 16 de outubro de 2007 en Wayback Machine. (en francés)
• Sur les sommes de carrés (en francés)