Saltar ao contido

Teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Pierre de Fermat, matemático.

En matemáticas, o teorema dos dous cadrados de Fermat enuncia as condicións para que un número enteiro sexa a suma de dous cadrados de enteiros, e precisa de cantos xeitos diferentes pode selo. Por exemplo, segundo este teorema, un número primo impar é a suma de dous cadrados de enteiros só se o residuo da súa división euclidiana entre 4 é 1; neste caso, os cadrados quedan determinados de xeito único, en termos de aritmética modular

Pódese verificar sobre ou , que ámbolos dous se poden expresar dun único xeito como unha suma de dous cadrados e ; tamén, que números primos, como ou , non se poden expresar como a suma de dous cadrados. Este resultado tamén é chamado sinxelamente teorema dos dous cadrados.

Inscríbese na longa historia da representación de números como a suma de cadrados que se remonta até a antigüidade. Foi expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) no século XVII, pero a primeira proba publicada coñecida é obra de Leonhard Euler, un século máis tarde. Malia isto, a súa demostración non pecha todos os interrogantes. No devir dos séculos posteriores propuxéronse novas probas e diversas xeneralizacións. Estas contribucións representaron un papel importante no desenvolvemento da póla das matemáticas chamada teoría alxébrica dos números.

A semellanza de moitas ecuacións diofantianas, é dicir, de ecuacións nas cales os coeficientes e as solucións buscadas son números enteiros ou racionais, a sinxeleza do enunciado agocha unha dificultade real na súa demostración. Algunhas das probas propostas axudaron á posta a punto de ferramentas por veces sofisficadas, como as curvas elípticas ou a xeometría dos números, relacionando así a teoría dos números elemental con outras pólas das matemáticas.

Proba de Euler por descenso infinito

[editar | editar a fonte]

Euler logrou demostrar o teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados en 1749, cando tiña corenta e dous anos. Comunicouno nunha carta a Goldbach de data 12 de abril de 1749.[1] A proba baséase só no descenso infinito esbozado na carta. A proba completa consta de cinco pasos e publícase en dous artigos. Os catro primeiros pasos son as proposicións 1 a 4 do primeiro traballo[2] e non se corresponden exactamente cos catro pasos seguintes. O quinto paso a continuación é do segundo artigo.[3][4]48.

Para evitar ambigüidades, cero sempre será un posíbel constituínte válido de "sumas de dous cadrados", polo que, por exemplo, cada cadrado dun número enteiro é trivialmente expresábel como a suma de dous cadrados configurando un deles como cero.

1. O produto de dous números onde cada un deles é unha suma de dous cadrados, é en si mesmo unha suma de dous cadrados.

Esta é unha propiedade coñecida, baseada na identidade
debida á Diofanto de Alexandría coñecida como identidade de Brahmagupta-Fibonacci ou identidade de Diofanto.

2. Se un número que é unha suma de dous cadrados é divisíbel por un primo que é unha suma de dous cadrados, entón o cociente é unha suma de dous cadrados. (Esta é a primeira proposición de Euler).

De feito, supoña, por exemplo, que é divisíbel por e que este último é primo. Entón divide
Como é primo, divide un dos dous factores. Supoñamos que divide . Dadi que
(pola Identidade de Diofanto) dedúcese que debe dividir . Polo tanto, a ecuación pódese dividir polo cadrado de . Dividindo a expresión entre obtemos:
e así expresamos o cociente como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.
Por outro lado, se divide , un argumento similar cúmprese se usamos a seguinte variante da identidade de Diofanto:

3. Se un número que se pode escribir como unha suma de dous cadrados é divisíbel por un número que non é unha suma de dous cadrados, entón o cociente ten un factor que non é unha suma de dous cadrados. (Esta é a segunda proposición de Euler).

Supoñamos que é un número que non se pode expresar como unha suma de dous cadrados, que divide . Escribimos o cociente, factorizado nos seus factores primos (posíbelmente repetidos), como e por tanto . Se todos os factores poden escribirse como sumas de dous cadrados, entón podemos dividir sucesivamente por , , etc., e aplicando o paso (2.) anterior deducimos que cada cociente sucesivo máis pequeno é unha suma de dous cadrados. Se chegamos ata , entón o propio tería que ser igual á suma de dous cadrados, o que é unha contradición. Polo tanto, polo menos un dos números primos non é a suma de dous cadrados.

4. Se e son números enteiros positivos relativamente primos, todo factor de é unha suma de dous cadrados. (Este é o paso que usa o paso (3.) para producir un "descenso infinito" e foi a Proposición 4 de Euler. A demostración que se esboza a continuación tamén inclúe a proba da súa Proposición 3).

Sexan números enteiros positivos relativamente primos: sen perda de xeneralidade non é primo en si mesmo, se non, non hai nada que demostrar. Sexa polo tanto un factor propio de , non necesariamente primo: queremos mostrar que é unha suma de dous cadrados. De novo, non perdemos nada ao supoñer xa que o caso é obvio.
Sexan números enteiros non negativos tal que son os múltiplos máis próximos de (en valor absoluto) a respectivamente. Nótese que as diferenzas e son números enteiros de valor absoluto estritamente inferiores a : de feito, cando é par, mcd; se non, xa que mcd, tamén teríamos mcd.
Substituíndo e operando obtemos
definindo de forma única un enteiro non negativo . Dado que divide os dous extremos desta secuencia de ecuacións, dedúcese que tamén debe ser divisíbel por : digamos . Sexa o mcd de e que, por seren coprimos son relativamente primos a . Así, divide , polo que escribindo , e , obtemos a expresión para os primos relativos , e con , xa que
Agora, finalmente, o paso do descenso: se non é a suma de dous cadrados, entón no paso (3.) debe haber un factor digamos de que non é a suma de dous cadrados. Pero e así repetindo estes pasos (inicialmente con en lugar de , e así sucesivamente ad infinitum) poderemos atopar unha secuencia infinita estritamente decrecente de números enteiros positivos que non son en si mesmos a suma de dous cadrados senón que teñen un factor como suma de dous cadrados relativamente primos. Dado que tal descenso infinito é imposíbel, concluímos que debe ser expresábel como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

5. Todo número primo da forma é unha suma de dous cadrados. (Este é o principal resultado do segundo traballo de Euler).

Se , entón polo pequeno teorema de Fermat cada un dos números é congruente con 1 módulo . Polo tanto, as diferenzas son todas divisíbeis por . Cada unha destas diferenzas pódese factorizar como
Dado que é primo, debe dividir un dos dous factores. Se nalgún dos casos divide o primeiro factor, entón no paso anterior concluímos que é en si mesma unha suma de dous cadrados (xa que e difiren en , son relativamente primos). Polo tanto, abonda con demostrar que non sempre pode dividir o segundo factor.
Se divide todas as diferenzas , entón dividiría todas as diferenzas de termos sucesivos, todas as diferenzas de termos sucesibo, etc. Dado que as -ésimas diferenzas da secuencia son de cantidade un número igual a (ver Diferenza finita), as -ésimas diferenzas serían todas constantes e igual a , que certamente non é divisíbel por . Polo tanto, non pode dividir todos os segundos factores o que demostra que é efectivamente a suma de dous cadrados.
  1. Euler à Goldbach, lettre CXXV
  2. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) [1]
  3. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) [2]
  4. O resumo baséase no libro de Edwards, páxinas 45-48.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]