Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é un problema matemático de probabilidade baseado no concurso televisivo estadounidense Trato feito (Let's Make a Deal). O problema foi exposto e resolto polo matématico Steve Selvin, na revista American Statistician en 1975. O problema foi bautizado co nome do presentador de devandito concurso, Monty Hall. En España o mesmo tipo de problema aparecía no concurso televisivo Un, dos, tres... responda otra vez.

A premisa

O concursante debe escoller unha porta entre tres (todas pechas); o premio consiste en levarse o que se atopa detrás da escollida. Sábese con certeza que tras unha delas ocúltase un automóbil, e tras as outras dúas hai cabras. Unha vez que o concursante elixa unha porta e comunicado a súa elección aos presentes, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada porta, abrirá unha das outras dúas, na que haberá unha cabra. A continuación, dálle a opción ao concursante de mudar, se o desexa, de porta (ten dúas opcións). Debe o concursante manter a súa elección orixinal ou escoller a outra porta? Hai algunha diferenza?

Esa pregunta xerou un intenso debate. Como a resposta correcta parece contradicir a intuición, é un paradoxo.

No concurso "un, dous, tres ... responda otra vez", unha porta tiña un coche, outra unha cabaza e outra un regalo ruín.

A premisa concreta

A mecánica do concurso é a seguinte:

• Ao concursante ofréceselle a posibilidade de escoller unha entre tres portas. Tras unha delas atópase un coche, e tras as outras dúas hai senllas cabras. O concursante gaña o premio que se oculta detrás da porta que escolla.
• Despois de que o concursante escolla unha porta, o presentador abre unha das outras dúas portas, mostrando unha cabra. Sempre pode facelo, xa que mesmo se o concursante escolleu unha cabra, fica outra entre as portas que descartou e o presentador coñece o que hai detrás de cada porta.
• Entón, ofrece ao concursante a posibilidade de cambiar a súa elección inicial e escoller a outra porta que descartou orixinalmente, que continúa pechada.

A pregunta oportuna é: debe facelo ou non?

A solución

Un estudo probabilístico

A probabilidade de que o concursante escolla na súa primeira oportunidade a porta que oculta o coche é de 1/3, polo que a probabilidade de que o coche se atope nunha das portas que non escolleu é de 2/3. Que muda cando o presentador mostra unha cabra tras unha das outras dúas portas?

Unha suposición errónea é que, unha vez só fiquen dúas portas, ambas teñen a mesma probabilidade (é 1/2) de conter o coche. É errónea xa que o presentador abre a porta despois da elección do xogador. Isto é, a elección do xogador afecta á porta que abre o presentador. Non é un suceso aleatorio nin inconexo.

Se o xogador escolle na súa primeira opción a porta que contén o coche (cunha probabilidade de 1/3), entón o presentador pode abrir calquera das outras dúas portas. Ademais, o xogador perde o coche se cambia cando se lle ofrece a oportunidade, posto que acertara na primeira escolla.

Mais, se o xogador escolle unha cabra na súa primeira opción (cunha probabilidade de 2/3), o presentador só ten a opción de abrir unha porta, e esta é a única porta restante que contén unha cabra. Nese caso, a porta restante ten que conter o coche, polo que mudando gaña o coche con seguridade, posto que escollera unha cabra na primeira opción.

En resumo, se mantén a súa elección orixinal gaña se escolleu orixinalmente o coche (con probabilidade de 1/3), mentres que se muda, gaña se escolleu orixinalmente unha das dúas cabras (con probabilidade de 2/3). Por tanto, o concursante debe cambiar a súa elección se quere maximizar a probabilidade de gañar o coche.

Detrás da porta 1	Detrás da porta 2	Detrás da porta 3	Resultado se mantén a selección da porta 1	Resultado se cambia de porta
Cabra	Cabra	Coche	Gañar unha cabra	Gañar un coche
Cabra	Coche	Cabra	Gañar unha cabra	Gañar un coche
Coche	Cabra	Cabra	Gañar un coche	Gañar unha cabra

Fórmula matemática

A solución cunha ecuación matemática para un problema xenérico cun total de t portas totais, n portas escollidas ao principio e l portas que se abren nas que non está o coche.

$P[A]=100\times {\frac {n+l}{t}}\%$

Véxase tamén

Bibliografía

• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
• Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
• Joseph Bertrand (1889) Calcul des probabilites
• Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." The Mathematical Intelligencer, 2011 ^{[Ligazón morta]}
• Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.

• Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
• Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
• Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
• Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
• Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
• Ziemer, Rodger E. (1997). Elements of Engineering Probability & Statistics. Prentice Hall, pp. 31-32.