Paradoxos de Zenón

Os paradoxos de Zenón son unha serie de paradoxos, ideados por Zenón de Elea, para apoiar a doutrina de Parménides de que as sensacións que obtemos do mundo son ilusorias, e concretamente, que non existe o movemento.

Pertencen á categoría de paradoxos falsídicos, isto é, que non só atinxen un resultado que aparenta ser falso, senón que ademais o é. Isto débese a unha falacia no razoamento, producido pola falta de coñecementos sobre o concepto de infinito na época na que foron formuladas.

Aquiles e a tartaruga

Aquiles o guerreiro decide saír a competir nunha carreira contra dunha tartaruga. Xa que corre moito máis rápido ca ela, e seguro das súas posibilidades, dálle unha vantaxe inicial. Ao dar a saída, Aquiles percorre en pouco tempo a distancia que os separaba inicialmente, mais ao chegar alí descobre que a tartaruga xa non está, senón que avanzou, máis lentamente, un pequeno treito. Sen se desanimar, segue correndo, mais ao chegar de novo onde estaba a tartaruga, esta avanzou un pouco máis. Deste xeito, Aquiles non gañará a carreira, xa que a tartaruga estará sempre por diante del.

Realmente, sábese que Aquiles atinxirá a tartaruga, xa que unha suma de infinitos termos pode ter un resultado finito. Os tempos nos que Aquiles percorre a distancia que o separa do punto anterior no que se atopaba a tartaruga son cada vez máis e máis pequenos, e a súa suma dá un resultado finito, que é o momento no que atinxirá a tartaruga.

O lanzamento dunha pedra contra unha árbore

Este paradoxo é unha variante da anterior.

Zenón está a oito metros dunha árbore. Chegado un momento, lanza unha pedra, tratando de dar na árbore. A pedra, para chegar ao obxectivo, ten que percorrer antes a primeira metade da distancia que a separa dela, é dicir, os primeiros catro metros, e tardará un tempo (finito) en facelo. Unha vez chegue a estar a catro metros da árbore, precisará percorrer os catro metros que lle quedan, e para iso debe percorrer primeiro a metade desa distancia. Mais cando estea a dous metros da árbore, botará un tempo en percorrer o primeiro metro, e logo o primeiro medio metro restante, e logo o primeiro cuarto de metro... Deste xeito, a pedra nunca chegará á árbore.

É posíbel utilizar este razoamento, de xeito análogo, para "demostrar" que a pedra nunca chegará a saír da man de Zenón.

Ao igual que no paradoxo de Aquiles e a tartaruga, é certo que a suma de distancias percorridas, (e tempos investidos en facelo) é infinita, mais a súa suma é finita e polo tanto a pedra chegará á árbore.

O paradoxo da pedra pode formularse matematicamente usando series infinitas. As series infinitas son sumatorias cuxo termo variante (que só pode tomar valores pertencentes ao conxunto de números naturais) vai ata o infinito. Para ter unha idea de que é unha serie, móstrase un par de series sinxelas e logo o paradoxo de Zenón cunha serie un pouco máis complexa.

Para sumar todos os números desde 1 a infinito
$\sum _{n=1}^{\infty }n=1+2+3+4+5+...$

Para sumar todos os números ao cadrado desde 1 a infinito
$\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}=1+(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}+(5)^{2}+...=1+4+9+16+25+...$

Agora, para expoñer o paradoxo da pedra un fai unha serie que sume a metade, logo a metade da metade, logo a metade da metade da metade e así, ata o infinito
$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over 2^{n}}={1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+...$

Como a serie que se plantea para o paradoxo da pedra é unha serie xeométrica, a súa suma pode ser calculada coa seguinte fórmula:

Suma = ${a \over 1-r}$

Na sumatoria do paradoxo de Zenón, "a" é $1 \over 2$ e r, é a razón de incremento incremento (produto), que é $1 \over 2$ . Substituíndo eses valores na fórmula de suma tense:

Suma = ${1/2 \over 1-1/2}={1/2 \over 1/2}=1$

Entón vese que a suma da metade de "algo" máis a metade da metade de "algo" e así sucesivamente dá 1, "algo" completo. Para o paradoxo é o mesmo, a metade da distancia, máis a metade da metade da distancia e así sucesivamente dá a distancia enteira. Xa que logo, pódese concluír que, percorrendo infinitas metades se pode percorrer toda a distancia.

O paradoxo da frecha

Neste paradoxo, lánzase unha frecha. En cada momento no tempo, a frecha está nunha posición específica, e se ese momento é pequeno abondo, a frecha non ten tempo para se mover, polo que está en repouso durante ese intre. Ora ben, durante os seguintes períodos de tempo, a frecha tamén estará en repouso polo mesmo motivo. De xeito que a frecha está sempre en repouso: o movemento é imposíbel.

Un xeito de resolvelo é observar que, a pesar de que en cada instante a frecha se percibe como en repouso, estar en repouso é un termo relativo. Non se pode xulgar, observando só un instante calquera, se un obxecto está en repouso. No canto diso, é necesario comparalo con outros instantes adxacentes. Así, se o comparamos con outros instantes, a frecha está en distinta posición da que estaba antes e na que estará despois. Polo tanto, a frecha estase movendo.