Medida de probabilidade

En matemáticas, unha medida de probabilidade é unha función con valores reais definida nun conxunto de eventos nunha σ-álxebra que satisfai propiedades de medida como a aditividade contábel. A diferenza entre unha medida de probabilidade e a noción máis xeral de medida (que inclúe conceptos como área ou volume) é que unha medida de probabilidade debe asignar o valor 1 a todo o espazo.

As medidas de probabilidade teñen aplicacións en diversos campos, desde a física ata as finanzas e a bioloxía.

Definición

Unha medida de probabilidade que mapea a σ-álxebra para $2^{3}$ eventos no intervalo unidade.

Os requisitos para unha función conxunto $\mu$ ser unha medida de probabilidade nunha σ-álxebra son:

• $\mu$ debe devolver resultados no intervalo unidade $[0,1],$ devolvendo $0$ para o conxunto baleiro e $1$ para todo o espazo.
• $\mu$ debe satisfacer a propiedade de aditividade contábel que para todas as coleccións contabeis $E_{1},E_{2},\ldots$ de conxuntos disxuntos por pares: $$\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).$$

Por exemplo, dados tres elementos 1, 2 e 3 con probabilidades $1/4,1/4$ e $1/2,$ o valor asignado $\{1,3\}$ é $1/4+1/2=3/4,$ como no diagrama da dereita.

A probabilidade condicional baseada na intersección de eventos definida como: $$\mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.$$ satisfai os requisitos da medida de probabilidade sempre que $\mu (A)$ non é cero.

Véxase tamén

Bibliografía

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. John Wiley. ISBN 0-471-00710-2. 
• Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Probability & Measure Theory. Academic Press. ISBN 0-12-065202-1. 

Outros artigos

• Medida de Borel.
• Medida de Lebesgue.

Ligazóns externas

• Distinguishing probability measure, function and distribution, Math Stack Exchange