Función continuamente diferenciable

En análise matemática, unha clase diferenciable é unha clasificación dunha función polas propiedades das derivadas. A clase das funcións continuamente diferenciable son aquelas que teñen derivadas de tódalas ordes.

Definición para funcións reais dunha variable

Sexa $f:D\to \mathbb {R}$ unha función co dominio $D\subseteq \mathbb {R}$, entón:

• $f$ é de clase $C^{0}(D,\mathbb {R} )$ se é unha función continua.
• $f$ é de clase $C^{1}(D,\mathbb {R} )$ se a súa primeira derivada fose unha función continua.
• $f$ é de clase $C^{n}(D,\mathbb {R} )$ se a súa n-ésima derivada fose unha función continua.
• $f$ é continuamente diferenciable ou de clase $C^{\infty }(D,\mathbb {R} )$ se fose de clase $C^{n}(D,\mathbb {R} )$ para todo $n$.
• $f$ é analítica ou de clase $C^{\omega }(D,\mathbb {R} )$ se puidese ser escrita como unha serie de Taylor arredor de cada punto do dominio. Toda función analítica é continuamente diferenciable.

Definición para funcións reais de varias variables

Sexa $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ unha función co dominio $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

• $f$ é de clase $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{n})$ se é unha función continua.
• $f$ é de clase $C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})$ se todas as súas derivadas parciais de orde até $n$ fosen funcións continuas.
• $f$ é continuamente diferenciable ou de clase $C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})$ se fose de clase $C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})$ para todo $n$