Matemáticas e arte

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
As matemáticas na arte: gravado sobre placa de cobre de Albrecht Dürer (Durero) Melancolía I, 1514. As referencias inclúen un compás para a xeometría, un cadrado máxico e un romboedro truncado, mentres a medición está indicada polas escalas e o reloxo de area.[1]
Debuxo precursor dos Wireframe dun vaso como sólido de revolución, obra de Paolo Uccello.[2] S. XV

As matemáticas e a arte están relacionadas de varios xeitos. É frecuente atopar as matemáticas descritas como unha arte debido á beleza ou elegancia das súas formulacións, e pódese atopar a súa presenza na música, danza, pintura, arquitectura, escultura, artes téxtiles, cine...

Os vínculos de ambas as disciplinas son múltiples e moi diversos, desde o uso de patróns xeométricos, módulos e redes, ás aplicacións da perspectiva, creación ou corrección de ilusións ópticas (desde as columnas gregas ao Op-Art), o uso de distintas medicións con uso de aparellos tecnolóxicos que foron posíbeis grazas ao desenvolvemento das matemáticas (lentes, aplicacións do láser etc.), até o feito de que as matemáticas foron determinantes en varias vangardas do século XX.

Este artigo céntrase na influencia das matemáticas nas artes visuais, máis do que a análise das obras de arte en base ás matemáticas. En 2006 un estudo afirmou que as pinceladas das estrelas e o ceo pintados en xuño de 1889 por Vincent van Gogh no seu cadro A noite estrelecida se axustan á ecuación de turbulencias creada en 1941 por Andrei Kolmogorov. Van Gogh era afeccionado á astronomía e mesmo procuraba explicacións científicas do cromatismo das estrelas, porén non cabe inferir unha influencia directa das teorías das turbulencias nesta obra.

As matemáticas e a arte teñen longa relación histórica, desde os principios da historia da arte até artistas recentes como Liz Paley. Está documentada a existencia de artistas matemáticos desde o século IV a.C., cando o escultor grego Policleto escribiu o seu Canon, prescribindo proporcións baseadas na relación para o espido masculino ideal. Curiosamente, cada vez son máis frecuentes presuntas evidencias do uso do número áureo na arte e a arquitectura antigas, aínda que sen bases fiables que apoien as teorías. Mesmo algunhas obras poden ter relación casual e non causal coa proporción áurea. No Renacemento italiano, Luca Pacioli escribiu o influente tratado De divina proportione (1509), ilustrado con xilogravuras de Leonardo da Vinci, sobre o uso da proporción áurea na arte. Outro italiano, Piero della Francesca, desenvolveu as ideas de Euclides sobre a perspectiva en tratados como De Prospectiva Pingendi e nas súas propias pinturas. O gravador Dürer efectuou numerosas referencias ás matemáticas na súa obra. Nos tempos modernos, o artista gráfico M. C. Escher fixo un uso intensivo do teselado e da xeometría hiperbólica coa axuda do matemático Harold Scott MacDonald Coxeter, mentres que o movemento De Stijl liderado por Theo van Doesburg e Pieter Mondrian abarcou explicitamente as formas xeométricas. As matemáticas inspiraron tamén as artes téxtiles de teares, alfombras e outras creacións. Na arte islámica, as simetrías son evidentes en formas tan variadas como o girih persa e o azulexo zellige< marroquí, as bóvedas decoradas etc.

O influxo directo das matemáticas sobre a arte evidénciase no uso de ferramentas como a perspectiva, a análise da simetría, ou a presenza en diversas obras de obxectos matemáticos que exerceron atracción sobre artistas de distintas épocas, como os poliedros (en pinturas e debuxos de Dürer, Marcus Wenninger, Wenzel Jamnitzer, Lorenz Stoer, Giorgio de Chirico e outros, e por suposto na escultura e na arquitectura), ou a banda de Möbius descuberta de maneira independente polos matemáticos August F. Möbius e J. Benedict Listing, e polo escultor Max Bill, quen pensou ser o primeiro en describir a forma.

Conceptos matemáticos como a recursividade e paradoxos lóxicos pódense ver nas pinturas de René Magritte e en gravados do citado M. C. Escher. A arte computacional a miúdo fai uso de fractais, incluído o conxunto de Mandelbrot, e ás veces, explora obxectos matemáticos como os autómatas celulares. De forma controvertida, ligando a óptica coa pintura, o artista David Hockney argumentou que desde o Renacemento en diante a maioría dos artistas utilizaron a cámara lúcida para debuxar representacións precisas de escenas; e o arquitecto Philip Steadman argumentou de maneira similar que Johannes Vermeer usou a cámara escura na composición das súas pinturas.

Outras relacións inclúen a análise algorítmica das obras de arte mediante a fluorescencia de raios X, ou o achado de que os batik tradicionais de diferentes rexións da illa de Xava teñen composicións fractais. A arte serviu en ocasións como estímulo para a investigación matemática, especialmente no caso da teoría da perspectiva de Filippo Brunelleschi, que finalmente levou a Girard Desargues ao desenvolvemento da xeometría proxectiva. Unha visión persistente, baseada en última instancia na noción pitagórica da harmonía musical, sostén que o universo está organizado segundo relacións numéricas, que Deus é o xeómetra do mundo e que, por tanto, a xeometría é sacra, tal como se reflicte en obras de arte como O ancián dos días de William Blake.

Orixes: desde a antiga Grecia até o Renacemento[editar | editar a fonte]

Canon e simetría de Policleto[editar | editar a fonte]

Copia romana en mármore do Doríforo de Policleto
Artigo principal: Policleto.

Policleto (c. 450–420 a.C.) foi un escultor grego da escola de Argos. A temática das súas obras consistía principalmente en atletas. Segundo o matemático Xenócrates, Policleto foi un dos escultores máis importantes da Antigüidade polo seu traballo no Doríforo e na estatua de Hera.[3] As súas esculturas poden non ser tan famosas como as de Fidias, pero tamén foron moi admiradas. No seu Canon, un tratado que escribiu para documentar as proporcións "perfectas" da anatomía do espido masculino introduciu un enfoque matemático para esculpir o corpo humano.

Utilizaba a lonxitude da falanxeta do maimiño da man de módulo básico para determinar as proporcións do corpo humano.[4] Multiplicaba a súa lonxitude por para obter a distancia da segunda falanxe (falanxina) e multiplicaba a lonxitude novamente por para obter a lonxitude da terceira falanxe. A continuación, tomaba a lonxitude dese dedo e multiplicábaa por para obter a lonxitude da palma desde a base do dedo até o cúbito. Esta serie xeométrica de medidas avanza até formar o brazo, o tórax e o corpo completo con todas as súas partes.[5]

A influencia do Canon de Policleto é inmensa na escultura da antiga Grecia, Roma e o Renacemento, e numerosos escultores seguiron as súas prescricións. Aínda que non se conserva ningunha das súas obras orixinais, as copias romanas mostran o seu canon ideal e a súa precisión matemática. Algúns estudosos argumentan que o pensamento pitagórico influíu en Policleto, aplicando os conceptos matemáticos básicos da xeometría grega, como a relación, a proporción e a simetría (en grego significa "harmonía nas proporcións") e convérteos nun sistema capaz de describir a forma humana a través dunha serie de series xeométricas continuas.[6][4]

Perspectiva e proporción[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Perspectiva (gráfica).
Experimento de Brunelleschi sobre a perspectiva

Na Antigüidade clásica, en vez de axustar o tamaño das figuras dunha composición de acordo coa súa distancia ao observador (segundo as regras da perspectiva), os pintores establecían o tamaño de obxectos e figuras segundo a súa importancia temática. Na Idade Media, algúns artistas usaron a perspectiva invertida para salientaren determinados motivos. O matemático musulmán Alhazen (Ibn al-Haytham), describiu unha teoría xeométrica da óptica no seu Libro de Óptica en 1021, e aínda que non a aplicou á arte, influíu en artistas e científicos posteriores, chegando a ser considerado un dos pais do método científico.[7] O Renacemento viu o rexurdir das ideas gregas e romanas clásicas na cultura, incluído o estudo das matemáticas para comprender a natureza e a arte. Dous motivos principais levaron os artistas de finais da Idade Media e do Renacemento cara ás matemáticas: en primeiro lugar, os pintores necesitaban descubrir como representar escenas tridimensionais nun lenzo bidimensional; e en segundo lugar, tanto os filósofos como os artistas estaban convencidos de que as matemáticas eran a esencia do mundo físico e que todo o universo, incluídas as artes, se podía explicar en termos numéricos.[8]

Os rudimentos da perspectiva chegaron con Giotto (1266/7-1337), que tentou debuxar usando un método alxebraico para determinar as localización das liñas distantes. En 1415, o arquitecto italiano Brunelleschi e o seu amigo Alberti demostraron en Florencia o método necesario para aplicar a perspectiva, utilizando o principio de semellanza tal como o formulou Euclides para determinar a altura aparente de obxectos distantes.[9][10] Aínda que se perderon as pinturas de Brunelleschi, os frescos de Masaccio da Santísima Trindade mostran os seus principios.[7][11][12]

O pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) estaba fascinado pola perspectiva, como mostran as súas pinturas da Batalla de San Romano (c. 1435–1460): as lanzas rotas converxen segundo liñas de perspectiva.[13][14]

O pintor Piero della Francesca (c. 1415–1492) exemplificou este cambio no pensamento do Renacemento italiano, axuntando a súa condición de artista coa de experto matemático e xeómetra, autor de libros sobre espazo xeométrico e perspectiva, incluíndo De Prospectiva pingendi (Sobre a perspectiva para pintar), Trattato d'Abaco (Tratado do Ábaco), e De corporibus regularibus (Sobre os Sólidos Regulares).[15][16][17]

O historiador Vasari na súa obra Le vite de' più eccellenti pittori, scultori e architettori chámao o "xeómetra máis grande do seu tempo, ou quizais de calquera época".[18] O interese de Piero della Francesca pola perspectiva pódese ver en pinturas súas coma o Políptico de San Antonio, o Retablo de Santo Agostino e Cristo na columna.[19] O seu traballo influíu en matemáticos e artistas posteriores, como en Luca Pacioli na súa obra De divina proportione, e en Leonardo da Vinci. Estudou matemáticas clásicas e os traballos de Arquímedes, e aprendeu aritmética comercial en "escolas do ábaco".[20] O formato dos seus escritos lembra ao dos libros de texto da escola do ábaco, seguindo moi posiblemente o estilo do Liber abaci, publicado en 1202 por Leonardo de Pisa (coñecido como Fibonacci).[21] Alberti explicou no seu tratado de 1435 De pictura que: "Os raios de luz viaxan en liña recta desde os puntos na escena observada até o ollo, formando unha especie de pirámide co ollo como vértice". Unha pintura construída mediante a perspectiva lineal é unha sección transversal desa pirámide.[22]

En De Prospectiva Pingendi, Piero transformou as súas observacións empíricas da forma en que os aspectos dunha figura cambian co punto de vista, en probas matemáticas. O seu tratado parte do traballo de Euclides: define o punto como "a cousa máis pequena que o ollo comprende".[8][23] Utiliza o razoamento dedutivo para guiar o lector á representación en perspectiva dun corpo tridimensional.[24]

O artista David Hockney argumentou no seu libro Coñecemento secreto: redescubrindo as técnicas perdidas dos antigos mestres que os artistas comezaron a usar unha cámara lúcida a partir da década de 1420, o que deu como resultado un cambio repentino na precisión e no realismo en moi pouco tempo, e que esta práctica foi continuada polos principais artistas, incluídos Ingres, Van Eyck e Caravaggio.[25] Os críticos non se poñen de acordo sobre se a tese de Hockney é correcta ou non.[26][27] Do mesmo xeito, o arquitecto Philip Steadman argumentou tamén con controversia que Johannes Vermeer usara un dispositivo diferente, unha cámara escura, para axudalo a crear as súas pinturas.[28][29]

Rombicuboctaedro oco en perspectiva, obra de Leonardo

En 1509, Luca Pacioli (c. 1447-1517) publicou De divina proportione sobre a relación das matemáticas e a arte a través da proporción, abordando mesmo por este método cuestións como a representación do rostro humano. Leonardo da Vinci (1452–1519) ilustrou o texto con gravados de sólidos regulares mentres estudaba con Pacioli na década de 1490. Os debuxos de Leonardo son probablemente as primeiras ilustracións realistas de sólidos xeométricos reducidos a un armazón de arestas.[30] Figuras como o rombicuboctaedro foron das primeiras a ser debuxadas así para mostrar a perspectiva mediante a superposición das arestas en primeiro plano sobre as do fondo, que podían á súa vez verse polos ocos das caras. O traballo discute a perspectiva nos traballos de Piero della Francesca, Melozzo dá Forlì e Marco Palmezzano.[31]

Da Vinci estudou a Summa de Pacioli, da que copiou as táboas de proporcións.[32] Na Gioconda e na Última Cea, incorporou unha perspectiva lineal cun punto de fuga para obter unha aparencia de profundidade.[33] A Última Cea ideouse cunha proporción estreita de 12:6:4:3, do mesmo xeito que a A escola de Atenas de Rafael inclúe a Pitágoras cunhas táboas de proporcións ideais, sacras para os pitagóricos.[34][35] No Home de Vitruvio, Leonardo expresou as ideas do arquitecto romano Marco Vitruvio, mostrando a figura masculina centrándoa nun círculo e nun cadrado.[36]

Xa no s. XV, a perspectiva curvilínea atopou camiño nas pinturas de artistas interesados ​​nas distorsións da imaxe. O Retrato do matrimonio Arnolfini , pintado por Jan van Eyck en 1434, contén un espello convexo con reflexos das persoas na escena, mentres que o pintor Parmigianino, no seu Autorretrato nun espello convexo (1524), mostra a cara case sen distorsión do artista no centro, cun fondo moi curvado e a man do artista ao redor do bordo.[37][38]

O espazo tridimensional pode representarse de maneira convincente na arte, como no debuxo técnico, por medios distintos á perspectiva. Os sistemas de proxección oblicua, incluída a perspectiva cabaleira (utilizada por artistas militares franceses para representar fortificacións no século XVIII), foron utilizados de forma continua por artistas chineses desde o primeiro ou segundo século até o século XVIII. Os chineses adquiriron a técnica da India, que a adquiriu da Antiga Roma. A proxección oblicua tamén aparece na arte xaponesa, como nas pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752–1815).[39]

Proporción áurea[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Sección áurea.

O número áureo (aproximadamente igual a 1.618) xa era coñecido por Euclides.[40] A proporción áurea foi reivindicada de forma persistente en tempos modernos pola súa presunta utilización na arte e especialmente na arquitectura do antigo Exipto, Grecia e outras culturas sen evidencias fiables.[41][42][43][44][45]

Esta situación pode derivar en parte da confusión da "relación áurea" coa "medida dourada" ou "regra de ouro", que para os antigos gregos significaba "evitar o exceso en calquera dirección", non unha relación xeométrica.[45] Desde o século XIX, moitos expertos e afeccionados á piramidoloxía argumentaron utilizando dubidosos razoamentos matemáticos para achar a proporción de ouro no deseño das pirámides, continuando a fantasía en filmes de historia-ficción.[46][47][48] Afirmouse que no Partenón, un templo do século V a. C. en Atenas, utilízase a proporción áurea na súa fachada e no seu plano de planta, pero estas afirmacións tamén son refutadas polas medidas do monumento.[49][50][51]

Da Gran Mesquita de Kairuán en Tunes tamén se afirmou que utilizou a proporción áurea no seu deseño, pero a citada proporción non aparece nas partes orixinais da mesquita.[52][53] O historiador da arquitectura Frederik Macody Lund argumentou en 1919 que a Catedral de Chartres (século XIII), a Catedral de Laon (1157-1205) e a de Notre Dáme (París) (1160) están deseñadas de acordo co número áureo, debuxando liñas auxiliares para mostrar a súa tese.[54] Outros estudosos argumentan que até o traballo de Pacioli en 1509, a proporción de ouro era descoñecida para os artistas e arquitectos.[55] Por exemplo, a altura e o ancho da parte dianteira de Notre-Dáme de Laon teñen a proporción 8/5 ou 1.6, non 1.618. Tales termos da sucesión de Fibonacci convértense rapidamente en difíciles de distinguir da proporción áurea.[56] Despois de Pacioli, a proporción áurea é máis perceptible nas obras de arte, incluída A Gioconda de Leonardo.[57]

Outro número morfolóxico do que se escribiu profusamente é o número plástico, ideado en 1928 polo arquitecto holandés Hans van der Laan (orixinalmente en francés "noméelle radiant", o número radiante).[58][59][60] O seu valor é a solución da ecuación cúbica

un número irracional, aproximadamente 1.325. Segundo o arquitecto Richard Padovan, está conectado coas fraccións características 3/4 e 1/7, que gobernan os límites da percepción humana ao relacionar un tamaño físico con outro. Van der Laan usou estas proporcións ao deseñar a igrexa de St. Benedictusberg Abbey (1967) nos Países Baixos.[60]

Mathematical Pyramid.svg
[1]



Laon Cathedral's regulator lines.jpg
[2]



Mona Lisa Golden Ratio.jpg
[3]



Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg
[4]



  • [1] O cociente Base:Hipotenusa (b:a) da Gran Pirámide de Guiza, relacionouse con: 1:φ (Triángulo de Kepler), 3:5 (Triángulo 3-4-5), ou 1:4/π
  • [2] Supostas liñas de proporción: Catedral de Laon
  • [3] Rectángulos áureos superpuestos sobre A Gioconda
  • [4] A igrexa da St. Benedictusberg Abbey (1967), obra de Hans van der Laan, utiliza nas súas proporcións o número plástico

Simetrías planas[editar | editar a fonte]

Alfombra con dobre medallón.[61] Anatolia Central (Konya-Karapınar), paso do século XVI ao XVII. Mesquita Alâeddin

As simetrías no plano utilizáronse durante milenios en obras téxtiles como alfombras, celosías e todo tipo de adornos.[62][63][64][65]

Moitas alfombras tradicionais divídense nun campo central e un bordo de encadramento. Ambos poden presentar simetrías, aínda que nas tecidas a man a miúdo están lixeiramente alteradas por detalles, variacións de patrón e cambios de cor introducidos polo tecedor.[62] Nos kilims de Anatolia os motivos utilizados son xeralmente simétricos. No deseño xeral adoita estar presente a simetría, con franxas ou arranxos agrupados de motivos aproximadamente hexagonais. O campo acostuma presentarse como un fondo asimilable a un patrón do grupo do papel pintado de configuración pmm, mentres o bordo toma a forma dun friso do tipo pm11, pmm2 ou pma2. Os kilims turcos e de Asia central a miúdo teñen tres ou máis fronteiras entre diferentes grupos de frisos. É obvio que os tecedores certamente buscaban a simetría, sen o coñecemento explícito das súas matemáticas.

O matemático e teórico da arquitectura Nikos Salingaros suxire que a "poderosa presenza" (efecto estético) dunha "grande alfombra", como as mellores alfombras de dous medallóns Konya do século XVII, créanse mediante técnicas matemáticas relacionadas coas teorías do arquitecto Christopher Alexander. Estas técnicas inclúen introducir zonas de cor como pares opostos; diferenciar áreas xeometricamente, ben utilizando formas complementarias ou equilibrando as direccións dos ángulos agudos; utilizar a complexidade a pequena escala (desde o nivel de nó cara arriba) e a simetría a pequena e a grande escala; e a utilización de elementos repetidos nunha xerarquía de diferentes escalas (cunha relación de aproximadamente 2.7 de cada nivel ao seguinte). Salingaros sostén que "todas as alfombras consideradas artísticas satisfán polo menos nove das dez regras anteriores", e suxire que podería ser posible crear unha métrica a partir delas.[61]

Na India atópanse os denominados jali, tallados en mármore para adornar tumbas e palacios.[63] As celosías chinesas existen en 14 dos 17 grupos de simetría planar; a miúdo presentan simetría de espello, de dobre espello ou rotacional. Algunhas presentan un medallón central e outras inclúen un bordo cun friso.[66] Moitas celosías chinesas foron analizadas matematicamente por Daniel S. Dye, que identificou Sichuan como o centro desta arte.[67]

Dovelas girih

As simetrías teñen un papel moi destacado nas artes téxtiles, incluíndo o punto, os encaixes, os bordados[68][69] e os distintos tipos de tecer, onde estes patróns poden ser decorativos ou indicar o status do propietario.[64][70][71][72][73]

Os artigos de bordado e encaixe como manteis e tapetes de mesa, feitos con bobinas ou con paus ou renda de bilros tradicionais en Europa, desde Hungría a Camariñas en Galicia, poden ter unha ampla variedade de reflexións e rotacións simétricas, que foron exploradas matematicamente.[74] Tamén se atopan simetrías nos entrelazados medievais, en todo tipo de obxectos.

A simetría rotacional atópase en estruturas circulares tales como cúpulas, en ocasións moi decoradas con patróns simétricos por dentro e por fóra, como na mesquita do xeque Lotf Allah de Isfahán (1619).[75]

Na arte islámica, os patróns xeométricos están presentes en moitas formas de arte, especialmente nos embaldosados. Estes teselados fórmanse utilizando un conxunto de cinco formas de baldosas, a saber: un decágono regular, un hexágono alargado, unha paxarela, un rombo e un pentágono regular. Todos os lados destes azulexos teñen a mesma lonxitude; e todos os seus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 radiáns), mostrando simetrías de cinco e dez módulos. As baldosas están decoradas con liñas de lacería en relevo (girih), xeralmente máis visibles que os límites das baldosas. En 2007, os físicos Peter Lu e Paul Steinhardt argumentaron que o lousado girih era similar ao cuasicristal definido pola teselación de Penrose.[76] As baldosas xeométricas elaboradas con pequenas teselas (zellige) son un elemento distintivo na arquitectura de Marrocos.[65]

As bóvedas decoradas con mocárabe (almocárabe ou muqarna) son tridimensionais, pero están deseñadas en dúas dimensións con debuxos de celas xeométricas.[77]

Tamén se atopan interesantes patróns matemáticos nos estucos da arquitectura hispanomusulmá e en igrexas cristiás de todos os estilos, desde grandes obras a pequenas igrexas como a de St. Florian Wiedenzhausen de Baviera.

Poliedros[editar | editar a fonte]

Retrato de Luca Pacioli disertando sobre poliedros (1495)

Os sólidos platónicos e outros poliedros son un tema recorrente na arte occidental. Atópanse, por exemplo, nun mosaico de mármore onde aparece un pequeno dodecaedro estrelado atribuído a Paolo Uccello e que forma parte do chan da Basílica de San Marcos en Venecia; nos diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci debuxados como ilustracións para o libro 1509 de Luca Pacioli De Divina Proportione; como un rombicuboctaedro de cristal no retrato de Pacioli de Jacopo de' Barbari, pintado en 1495; e no poliedro truncado (e varios outros obxectos matemáticos) que aparecen no gravado de Alberto Dürer titulado Melancolía I.[13] Dürer (1471-1528) foi un artista alemán do Renacemento, que fixo importantes contribucións ao estudo dos poliedros no seu libro de 1525, Underweysung der Messung (Educación sobre a medición), destinado ao ensino da perspectiva, a xeometría en arquitectura, os sólidos platónicos, e os polígonos regulares. Probablemente estivo influenciado polos traballos de Piero della Francesca e Luca Pacioli durante as súas viaxes a Italia.[79] Mentres que os exemplos de perspectiva en Underweysung der Messung están pouco desenvolvidos e conteñen imprecisións, o texto contén unha discusión detallada sobre os poliedros. Dürer foi tamén o primeiro en introducir no texto a idea do desenvolvemento dun poliedro, incluíndo poliedros despregados para que fiquen planos para a súa impresión.[80] Tamén publicou en 1528 outro libro influente sobre as proporcións do corpo humano, titulado "Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Catro libros sobre a proporción humana)".[81]

O coñecido gravado titulado Melancolía I, representa a un ser alado, sentado en actitude pensativa. A imaxe inclúe un cadrado máxico e un trapezoedro triangular truncado. Estes dous elementos, e o gravado en conxunto, foron obxecto de máis interpretacións modernas que case calquera outra obra comparable, incluíndo un libro de dous volumes de Peter-Klaus Schuster, e unha influente análise contida na monografía de Erwin Panofsky.[1][82][83][84][85]

Outro famoso pintor que incluíu poliedros nalgunhas das súas pinturas é Salvador Dalí. No seu cadro titulado A Última Cea, Cristo e os seus discípulos están representados dentro dun dodecaedro xigante. Outra das súas obras, a Crucifixión (1954), mostra un hipercubo despregado, que fai alusión á perspectiva divina en catro dimensións.[86][87][88]

Dimensións fractais[editar | editar a fonte]

Un batik, tecido tradicional procedente de Surakarta, Xava, como este parang klithik con patrón de espadas, ten unha dimensión fractal de entre 1.2 e 1.5

Os deseños tradicionais de batik, tinguidos en Indonesia co procedemento de reserva con cera, combinan motivos figurativos (elementos florais e vexetais) con motivos abstractos e algo caóticos, incluída a imprecisión derivada da aplicación da reserva máis e a variación aleatoria introducida polas gretas da propia cera. Os deseños de batik teñen unha dimensión fractal de entre 1 e 2, que varía en diferentes estilos rexionais. Por exemplo, o batik de Cirebon ten unha dimensión fractal de 1.1; os batiks de Yogyakarta e Surakarta no centro de Xava teñen unha dimensión fractal de 1.2 a 1.5; e os batiks de Lasem na costa norte de Xava e de Tasikmalaya en Xava occidental, teñen unha dimensión fractal de entre 1.5 e 1.7.[89]

As obras de dripping do artista moderno Jackson Pollock son tamén distintivas pola súa dimensión fractal. A súa obra titulada Número 14, de 1948, ten unha dimensión de 1.45, mentres as súas pinturas posteriores tiveron dimensións fractais sucesivamente máis altas e, por conseguinte, patróns máis elaborados. Unha das súas últimas obras, Blue Poles, levoulle seis meses de traballo, e ten umha dimensión fractal de 1.72.[90]

Unha relación complexa[editar | editar a fonte]

O astrónomo Galileo Galilei na súa obra "O ensaiador" escribiu que "[O universo] está escrito na linguaxe das matemáticas, e os seus caracteres son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas". Os artistas que se esforzan e buscan estudar a natureza, segundo Galileo, deben primeiro ver e entender completamente as matemáticas.[91]

Con todo, os matemáticos trataron de interpretar e analizar a arte a través da lente da xeometría e da racionalidade. O matemático Felipe Cucker suxire que as matemáticas, e especialmente a xeometría, son unha fonte de regras para a "creación artística impulsada por regras", aínda que non a única.[92] Algunhas das moitas cadeas da complexa relación resultante descríbense a continuación.[93]

O matemático Godfrey Harold Hardy definiu un conxunto de criterios para cualificar a beleza matemática

As matemáticas como arte[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Beleza matemática.

O matemático Jerry P. King describe as matemáticas como unha arte, afirmando que "as claves das matemáticas son a beleza e a elegancia e non o aburrimento e os tecnicismos", e que a beleza é a forza motivadora da investigación matemática.[94] King cita o ensaio publicado por Godfrey Harold Hardy en 1940, titulado Apoloxía dun matemático. Nel, Hardy analiza por que atopa dous teoremas da Antigüidade clásica como de primeira clase: a proba de Euclides de que hai infinitos números primos, e a proba de que a raíz cadrada de 2 é un número irracional. King avalía eses teoremas segundo os criterios de Hardy para estimar a elegancia matemática: "sobriedade, profundidade, xeneralidade, imprevisibilidade, inevitabilidade" e "economía" e describe a proba como "esteticamente agradable".[95] O matemático húngaro Paul Erdős estivo de acordo en que as matemáticas posuían beleza, pero considerou as razóns máis aló da explicación: "Por que son fermosos os números? É como preguntar por que é fermosa a Novena Sinfonía de Beethoven. Si non ves o porqué, ninguén cho pode explicar. Eu sei que os números son fermosos".[96]

Ferramentas matemáticas para a arte[editar | editar a fonte]

Octopod, obra de Mikael Hvidtfeldt Christensen. Arte algorítmico producido co programa Structure Synth

As matemáticas aparecen no substrato de basicamente todas as artes: música, danza, pintura, arquitectura, escultura...[97]

Cada unha está asociada coas matemáticas dun xeito particular.[98] Grazas á súa conexión coas artes visuais, as matemáticas poden proporcionar ferramentas para os artistas, como as regras da perspectiva descritas por Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert, ou os métodos de xeometría descritiva, posteriormente aplicados á modelaxe de sólidos por computador, e cuxos orixes teóricos se remontan a Dürer e a Gaspard Monge.[99]

Artistas da Idade Media e do Renacemento (como Pacioli, Leonardo e Dürer) empregaron e desenvolveron ideas matemáticas ao investigaren formas novas de realizaren o seu traballo artístico. [98] [100] O uso da perspectiva comezou, malia algúns incipientes intentos de arquitectura grega antiga, con pintores italianos como Giotto no século XIII; regras como a do punto de fuga foron formuladas por Brunelleschi ao redor de 1413,[7] e as súas teorías influíron definitivamente en Leonardo e Dürer.

O traballo de Newton sobre o espectro óptico influíu na teoría das cores de Goethe e, á súa vez, en artistas como Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, os membros da Irmandade Prerrafaelita, os puntillistas, os impresionistas, sobre Kandinski, etc.[101][102][103]

Os artistas tamén analizan a simetría dunha escena, e traballan sobre ese concepto. As mesmas ferramentas poden ser aplicadas por matemáticos que están a explorar a arte, ou por artistas inspirados nas matemáticas, como M. C. Escher ou o arquitecto Frank Gehry, quen argumentou que o deseño asistido por computadora lle permitiu expresarse dunha maneira completamente nova.[104][105]

O artista Richard Wright argumenta que os obxectos matemáticos que poden construírse poden verse "como procesos para simular fenómenos" ou como obras de "arte computacional". Considera a natureza do pensamento matemático, observando que os matemáticos coñecían os fractais desde un século antes de que fosen recoñecidos como tales. Wright conclúe afirmando que é apropiado someter os obxectos matemáticos a calquera método utilizado para "chegar a un acordo con conceptos culturais como a arte, a tensión entre obxectividade e subxectividade, os seus significados metafóricos e o carácter dos sistemas de representación". Dá como exemplos unha imaxe do conxunto de Mandelbrot, outra xerada por un algoritmo de autómata celular e unha imaxe renderizada, e discute, con referencia ao Test de Turing, se os produtos dun algoritmo poden ser arte.[106] Sasho Kalajdzievski, na súa obra "Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics (Matemáticas e Arte: unha introdución ás matemáticas visuais) adopta un enfoque similar, analizando temas matemáticos visuais adecuados, como teselados, fractais e xeometría hiperbólica.[107]

Algunhas das primeiras obras de arte computacional foron creadas por "Drawing Machine 1", un sistema ideado por Desmond Paul Henry, que consistía nunha computadora analóxica baseada nun visor de bombardeiro, exhibida en 1962.[108][109] A máquina era capaz de crear debuxos lineais complexos, abstractos, asimétricos ou curvilíneos, pero repetitivos.[110] Máis recentemente, Hamid Naderi Yeganeh creou formas suxestivas de obxectos do mundo real, como peixes e aves, usando fórmulas que son sucesivamente variadas para debuxar familias de curvas ou liñas en ángulo.[111][112][113] Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte algorítmico escribindo rutinas para un sistema de software como Structure Synth: o artista dirixe o sistema para aplicar unha combinación desexada de operacións matemáticas a un conxunto de datos previamente elixido.[114][115]

Das matemáticas á arte[editar | editar a fonte]

Theo van Doesburg: Seis Momentos no Desenvolvemento do Plano ao Espazo, 1926 ou 1929

O matemático e físico Henri Poincaré, autor de Ciencias e Hipóteses, foi lido amplamente polos cubistas, incluíndo a Pablo Picasso e a Jean Metzinger.[116][117] Poincaré vía a xeometría euclidiana como unha das moitas configuracións posibles do espazo, non como unha verdade obxectiva absoluta. Picasso, na súa obra de 1907 As señoritas d'Avinyó explorou a proxección nunha cuarta dimensión para tratar de mostrar simultaneamente as figuras de fronte e de perfil.[118]

A posible existencia dunha cuarta dimensión inspirou aos artistas a posibilidade de cuestionar a perspectiva clásica herdada do Renacemento: a xeometría non euclidiana converteuse noutra alternativa válida.[119][120][121] O concepto de que a pintura se podería expresar matematicamente, en cor e forma, contribuíu ao cubismo, o movemento artístico que conduciu á arte abstracta.[122] Metzinger, en 1910, escribiu que "[Picasso] presenta unha perspectiva móbil e gratuíta, desde a que ese enxeñoso matemático, Maurice Princet, deduciu toda unha xeometría".[123]

O impulso de facer modelos de ensino ou investigación de formas matemáticas crea naturalmente obxectos que teñen simetrías e formas sorprendentes ou agradábeis. Algúns destes obxectos inspiraron a artistas como os dadaistas Man Ray Marcel Duchamp[124] e Max Ernst, e tras Man Ray[125], a Hiroshi Sugimoto.[126][127][128]

Man Ray fotografou algúns dos modelos matemáticos conservados no Institut Henri Poincaré en París, incluíndo "Objet Matemathique" (Obxecto Matemático). Sinalou que representaba superficies de Enneper con curvatura constante, derivadas dunha pseudoesfera. Este fundamento matemático era importante para el, xa que lle permitía negar que o obxecto era "abstracto", permitíndolle afirmar que era tan real como o A Fonte (o urinal que Duchamp 'converteu' nunha obra de arte). Admitiu que a fórmula da superficie de Enneper que definía o obxecto "non significaba nada para min, pero as formas en si mesmas eran tan variadas e auténticas como calquera outra na natureza". Utilizou as fotografías dos modelos matemáticos como figuras da súa serie sobre as obras de Shakespeare, como a súa pintura "Antony and Cleopatra" de 1934.[129] O reporteiro de arte Jonathan Keats, nun artigo da revista "ForbesLife", sostén que Man Ray fotografou "os paraboloides elípticos e os puntos cónicos coa mesma luz sensual que as súas imaxes de Alice Prin", e "reformula enxeñosamente os cálculos xeniais das matemáticas para revelar a topoloxía do desexo". Escultores do século XX como Henry Moore, Barbara Hepworth e Naum Gabo tamén tomaron inspiración dos modelos matemáticos.[130][131] Moore escribiu sobre a súa Nai e fillo con cordas de 1938: "Sen dúbida, a fonte das miñas figuras con cordas foi o Museo de Ciencias de Londres ... Fascináronme os modelos matemáticos que vin alí ... "non foi o estudo científico destes modelos, senón a capacidade de mirar a través das cordas como nunha gaiola de paxaros e de ver unha forma dentro doutra, o que me emocionou".[132]

Os artistas Theo van Doesburg e Piet Mondrian fundaron o movemento De Stijl, que pretendía "establecer un vocabulario visual de formas xeométricas elementais comprensibles por todos e adaptables a calquera disciplina".[133][134] Moitas das súas obras de arte consisten visiblemente en cadrados e triángulos, ás veces tamén círculos. Os artistas de De Stijl traballaron en pintura, mobiliario e arquitectura. Logo da separación de De Stijl, Van Doesburg fundou o movemento de vangarda Art Concret, describindo a súa obra de finais dos 1920 titulada Seis Momentos no Desenvolvemento do Plano ao Espazo, como unha serie de cadrados negros sobre a diagonal dun fondo cadrado, como "unha estrutura que se pode controlar, unha superficie definida sen elementos aleatorios nin capricho individual", porén "Non lle falta espírito, non lle falta o universal e non lle falta... baleiro, xa que posúe un todo que se axusta ao ritmo interno". A crítica Gladys Fabre observou que hai dúas progresións traballando na pintura, os cadrados negros en crecemento e os fondos alternos.[135]

As matemáticas do teselado, os poliedros, a configuración do espazo e a autorreferencia proporcionaron ao artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) moito material para os seus gravados en madeira.[136][137] No Bosquexo da Alhambra demostrou que se pode crear arte con polígonos e formas regulares como triángulos, cadrados ou hexágonos. Tamén usou polígonos irregulares para teselar o plano e a miúdo usou reflexións e translacións para patróns adicionais. Moitas das súas obras conteñen construcións imposibles, con obxectos xeométricos que configuran unha contradición entre a proxección en perspectiva e as tres dimensións, pero son agradables á vista humana. O seu gravado "Ascendente e Descendente" baséase na "escaleira imposible" creada polo científico Lionel Sharples Penrose e o seu fillo o matemático Roger Penrose.[138][139][140]

Algúns dos moitos debuxos de teselado de Escher inspiráronse en conversas co matemático Harold Scott MacDonald Coxeter sobre a xeometría hiperbólica.[141] Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros que aparecen moitas veces no seu traballo. Os sólidos platónicos (tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros) aparecen especialmente destacados en "Orde e Caos" e "Catro Sólidos Regulares".[142] Estas figuras soen situarse dentro doutras formas que distorcen aínda máis o ángulo de visión e a conformación dos poliedros, proporcionando unha obra de arte en perspectiva multi-facética.[143]

A complexidade visual das estruturas matemáticas, como as teselacións e os poliedros, inspirou unha grande variedade de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin deseñou crebacabezas poliédricos en madeiras raras e fermosas; George W. Hart traballou na teoría de poliedros e esculpiu obxectos inspirados neles; Magnus Wenninger tamén realizou destacados modelos de poliedros estelados complexos.[144]

As perspectivas distorsionadas con efectos de anamorfoses exploráronse na arte desde o s. XVI, cando Hans Holbein o Novo incorporou un cranio severamente distorto na súa pintura "Os embaixadores" de 1533. Moitos artistas desde aquela, incluído Escher, fixeron uso de trucos anamórficos.[145]

As matemáticas propias da topoloxía inspiraron a varios artistas modernos. O escultor John Robinson (1935-2007) creou obras como Gordian Knot (no gordiano) e Bands of Friendship (Bandas de amizade), mostrando a teoría de nós en bronce puído.[8]

Outros traballos de Robinson exploran a topoloxía de figuras toroidales. A súa obra Xénese baséase nun nó borromeo, un conxunto de tres aros entrelazados.[146] O escultor Helaman Ferguson creou complexas superficies e outros obxectos topolóxicos.[147] As súas obras son representacións de obxectos matemáticos; The Eightfold Way baséase no grupo lineal especial proxectivo PSL(2,7), un grupo finito de 168 elementos.[148][149] A escultora Bathsheba Grossman baseou o seu traballo en estruturas matemáticas de maneira similar.[150][151]

Un proxecto de investigación sobre artes liberais examina as conexións entre as matemáticas e a arte a través da banda de Möbius, flexágonos, origamis e fotografías panorámicas.[152] No caso do origami, do que logo falaremos, podiamos considerar as aplicacións en eidos científicos e tecnolóxicos como a aeronáutica, e recentemente as investigacións de Robert Lang sobre os origamis descubriron axiomas que gobernan a súa creación, algúns coñecidos desde hai séculos e outros non. Mediante simulacións por ordenador Lang descubriu que se podía crear practicamente calquera figura complexa reducíndoa de forma matemática a un esquema, sendo logo o ordenador o que exploraría as fórmulas para indicar os pregues en papel que o artista tería de realizar.

Os obxectos matemáticos, incluídos o Atractor de Lorenz e o plano hiperbólico, creáronse utilizando a arte do tecido, coma o crochet.[153][154] O tecedor estadounidense Ada Dietz escribiu unha monografía en 1949 titulada "Expresións alxebraicas en téxtiles tecidos a man", que define patróns de tecido baseados ​​na expansión de polinomios de múltiples variables.

O matemático J. C. P. Miller usou o autómata celular Rule 90 para deseñar tapices que representaban tantas árbores como patróns abstractos de triángulos.[155] Os "mathekniticians" Pat Ashforth e Steve Plummer usaron versións tecidas de obxectos matemáticos como flexágonos para as súas clases, aínda que a súa esponxa de Menger resultou ser demasiado complexa para tecerse e confeccionouse con lona plástica no seu lugar.[156][157][158] O seu proxecto "mathghans" (Afghanos nas Escolas) introduciu o punto no currículo británico de matemática e tecnoloxía.[159][160]


Ilustrando matemáticas[editar | editar a fonte]

Polittico stefaneschi, verso.jpg
Polittico Stefaneschi, dettaglio.jpg
Tríptico Stefaneschi de Giotto (1320), exemplo de recursión. Á dereita, detalle co Cardeal Stefaneschi suxeitando o tríptico completo
Fachada do Museo Magritte: o lenzo representa un escenario real envolvido polo propio lenzo
Autorretrato de M. C. Escher (1935) reflectido sobre unha esfera de cristal

A modelaxe está lonxe de ser a única maneira posible de ilustrar conceptos matemáticos. O Tríptico Stefaneschi de Giotto (1320), ilustra a recursividade na forma de mise en abyme. O panel central do tríptico contén no seu parte inferior esquerda a figura axeonllada do cardeal Stefaneschi, sostendo o tríptico completo como ofrenda.[165] As pinturas metafísicas de Giorgio de Chirico, como o seu "Gran Interior metafísico" de 1917, exploran os niveis de representación na arte mediante a inclusión de pinturas dentro das súas pinturas.[166]

A arte pode exemplificar paradoxos lóxicos, como as pinturas do surrealista René Magritte que se poden ler como bromas de semiótica sobre a confusión entre niveis de significado. En La condition humaine (1933), Magritte representa un cabalete (sobre o lenzo real), no que aparece unha vista a través dunha xanela que está enmarcada por cortinas "reais" na pintura. De maneira similar, Print Gallery de Escher (1956), representa unha cidade distorsionada que contén unha galería na que recursivamente aparece a propia imaxe, e así ad infinitum.[167] Magritte fixo uso de esferas e cuboides para distorcer a realidade de forma diferente, pintándoas xunto a distintas casas na súa obra Aritmética mental de 1931 coma se fosen bloques de construción para nenos, pero do tamaño dunha casa.[168] Un artigo de The Guardian sinalaba que a "imaxe misteriosa da cidade de xoguete" profetizaba a usurpación por parte do modernismo das "tradicionais formas acolledoras", pero que tamén xogaba coa tendencia humana a buscar patróns na natureza.[169]

O cadro de Salvador Dalí, La cola de golondrina (1983), foi parte dunha serie inspirada na teoría das catástrofes de René Thom.[170] O pintor e escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) centrouse na investigación da forma. Desenvolveu un estilo que describiu como a xeometría da vida e a xeometría de toda a natureza, consistente en formas xeométricas simples con patróns e cores detalladas, en obras como Angular I e Automnes, Palazuelo expresouse mediante transformacións xeométricas.[8]

Adrian Gray ideou o equilibrio de rocas, xogando coas condicións de fricción e o centro de masas para crear composicións sorprendentes e aparentemente imposibles.[171]

Os artistas, con todo, non necesariamente asumen literalmente as propiedades da xeometría como ciencia. Como Douglas Hofstadter escribiu na súa reflexión de 1980 sobre o pensamento humano, Gödel, Escher, Bach: un Eterno e Grácil Bucle, a través de (entre outras cousas) as matemáticas da arte: "A diferenza entre un debuxo de Escher e a xeometría non euclidiana é que nesta última, pódense atopar interpretacións comprensibles para os termos indefinidos, o que resulta nun sistema total comprensible, mentres que para o primeiro, o resultado final non se pode reconciliar coa propia concepción do mundo, sen importar canto se mire ás imaxes". Hofstadter discute a aparentemente paradoxal litografía "Print Gallery" de M. C. Escher, que representa unha cidade costeira que á vez contén unha galería de arte que parece conter outra pintura da cidade costeira, cun "bucle estraño ou xerarquía entramada" entre os distintos niveis de realidade da imaxe. O propio artista, observa Hofstadter, non se ve; a súa realidade e a súa relación coa litografía non son paradoxais.[172] O baleiro central da imaxe tamén atraeu o interese dos matemáticos Bart de Smit e Hendrik Lenstra, que propoñen que podería conter unha copia de si mesma, rotada e encolleita mediante o efecto Droste; esta sería unha ilustración máis da recursividade alén do sinalado por Hofstadter.[173][174]

Análise da historia da arte[editar | editar a fonte]

A análise algorítmica de imaxes de obras de arte, por exemplo, usando fluorescencia de raios X, pode revelar información sobre a arte. Tales técnicas poden descubrir imaxes en capas de pintura cubertas máis tarde por un artista; axudar á historiadores da arte a visualizar unha obra de arte antes de que se grete ou se desvaneza; axudar a diferenciar unha copia dun orixinal, ou distinguir o estilo de pincelada dun mestre do dos seus aprendices.[175][176]

Max Ernst experimentou con curvas de Lissajous na década de 1940

O estilo denominado dripping ("goteo") ideado por Pollock[177] posúe unha dimensión fractal definida; entre os artistas que poden influír no caos controlado, Max Ernst pintou curvas de Lissajous directamente facendo balancearse un cubo de pintura furado colgado sobre un lenzo.[178][179][180]

Neil Dodgson investigou se as pinturas de raias de Bridget Riley se podían caracterizar matematicamente, concluíndo que aínda que a distancia de separación podía "proporcionar algunha caracterización" e o concepto de entropía global funcionaba nalgunhas pinturas, a correlación obtida non era concluínte, porque os seus patróns eran irregulares. A análise da entropía local funcionou mellor, e correlacionouse ben coa descrición do crítico de arte Robert Kudielka.[181]

A medida estética do matemático George David Birkhoff, de 1933, propón unha métrica cuantitativa da calidade estética dunha obra de arte. Non tenta medir as connotacións dunha obra, como o significado dunha pintura, senón que se limita aos "elementos de orde". Para iso, combina (como suma) cinco destes parámetros: se existe un eixo vertical de simetría; se hai equilibrio óptico; cantas simetrías rotativas ten; como é o fondo da figura; e se hai características insatisfactorias, como ter dous vértices demasiado xuntos. Esta métrica, O, toma un valor entre −3 e 7. A segunda métrica, C, ten en conta os elementos da figura, que para un polígono é o número de distintas rectas que conteñen polo menos un dos seus lados. A continuación, define a súa medida estética da beleza dun obxecto como "O/C". Isto pódese interpretar como un equilibrio entre o pracer de ver o obxecto dado e a cantidade de esforzo necesario para asimilalo. A proposta de Birkhoff foi criticada de varias maneiras, non só por tratar de reducir a beleza a unha fórmula, aínda que el sempre negou telo feito.[182]

Os estímulos á investigación matemática[editar | editar a fonte]

Origami matemático: Resorte en Acción, por Jeff Beynon, construído cun único rectángulo de papel.[183]
Orixe remota da xeometría proxectiva: diagrama de Alberti mostrando un círculo en perspectiva visto como unha elipse. Della Pittura, 1435–6

A arte ten estimulado o desenvolvemento das matemáticas, como cando a teoría de Brunelleschi sobre a arquitectura e pintura supuxo o inicio dun ciclo de investigación que conduciu ao traballo de Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert sobre os fundamentos matemáticos do debuxo en perspectiva, e, en última instancia, ás matemáticas da xeometría proxectiva de Girard Desargues e Jean-Victor Poncelet.[184][185]

A arte xaponesa de encartado de papel, o origami, foi revisada matematicamente por Tomoko Fuse. Partindo de pezas de papel congruentes, como cadrados, analiza as operacións necesarias para convertelas en poliedros ou teselas.[186] Esta técnica foi utilizada en 1893 por T. Sundara Rao nos seus "Exercicios xeométricos de encartado de papel" para demostracións xeométricas.[187] As matemáticas do origami foron exploradas no teorema de Maekawa, o teorema de Kawasaki, e nos axiomas de Huzita–Hatori.[188][189][190]

Ilusións ópticas e Op-art[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Op-art.
Ilusión da espiral de Fraser, nomeada así por Sir James Fraser, que a descubriu en 1908

As ilusións ópticas como a espiral de Fraser demostran sorprendentemente as limitacións na percepción visual humana, creando o que o historiador da arte Ernst Gombrich chamou un "truco desconcertante". As liñas en branco e negro que parecen formar espirais son de feito concéntricas. O estilo das pinturas e os gráficos do movemento Op-art de mediados do século XX aproveitou tales efectos para crear a impresión de movemento e patróns de vibración ou escintileos, propios do traballo de artistas como Bridget Riley, Spyros Horemis, e Victor Vasarely.[191][192] e explorado teoricamente nos ensaios de Rudolf Arnheim, que participou como crítico explicando os traballos dalgúns deles no filme "The responsive eye".

Outros artistas neste ámbito amplo son Robert Bosh, Olafur Eliasson, Alexander Calder, Messen-Jaschin, Frank Stella ou Ad Reinhardt.

Xeometría sacra[editar | editar a fonte]

Unha corrente da arte desde a Grecia antiga en diante ve a Deus como o creador xeómetra do mundo, e a xeometría do mundo, por tanto, como sacra. A crenza de que Deus creou o universo cun plan xeométrico ten orixes antigas. Plutarco atribuíu a crenza a Platón, escribindo "Platón dixo que Deus xeometriza continuamente" (Convivialium disputationum, liber 8,2). Esta imaxe influíu no pensamento occidental desde aquela. O concepto platónico derivou á súa vez dunha noción de harmonía pitagórica na música, onde as notas estaban situadas en espazos de proporcións perfectas, que se correspondían ás lonxitudes das cordas da lira; de feito, os pitagóricos sostiñan que todo estaba organizado polo Número. Da mesma forma, no pensamento platónico, os sólidos platónicos (o cinco poliedros regulares convexos) ditan as proporcións atopadas na natureza e na arte.[193][194] Unha ilustración dun manuscrito medieval pode referirse a un verso do Antigo Testamento: "Cando estableceu os ceos, eu estaba alí: cando estableceu un compás sobre a face do profundo" (Proverbios 8:27), que mostra a Deus debuxando o universo cun par de compases.[195]

En 1596, o astrónomo e matemático Johannes Kepler modelou o universo como un conxunto de sólidos platónicos aniñados, determinando os tamaños relativos das órbitas dos planetas. Dúas pinturas de William Blake, Ancient of Days[195] e Isaac Newton, tentan representar o contraste entre o mundo espiritual matematicamente perfecto e o mundo físico imperfecto.[196] Dalí, pola súa banda, na súa obra de 1954 Crucifixión, visualiza a cruz como un hipercubo, que representa a perspectiva divina con catro dimensións en lugar das tres habituais.[88] Noutra das súas obras, A Última Cea (1955), Cristo e os seus discípulos están representados no interior dun gran dodecaedro. xigante[197]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 Ziegler, Günter M. (3 de decembro de 2014). "Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube" (en inglés). Consultado o 18 de abril de 2021. 
  2. Colombo, C.; Del Bimbo, A.; Pernici, F. (2005). "Metric 3D reconstruction and texture acquisition of surfaces of revolution from a single uncalibrated view". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (en inglés) 27 (1): 99–114. ISSN 0162-8828. PMID 15628272. doi:10.1109/TPAMI.2005.14. 
  3. Stewart, Andrew (novembro 1978). "Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works". The Journal of Hellenic Studies (en inglés) (The Society for the Promotion of Hellenic Studies) 98: 122–131. ISSN 0075-4269. JSTOR 630196. doi:10.2307/630196. 
  4. 4,0 4,1 Tobin, Richard (October 1975). "The Canon of Polykleitos" 79 (4): 307–321. JSTOR 503064. doi:10.2307/503064. 
  5. Lawton, Arthur J. (2013). "Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture". Past 36. Consultado o 18 de abril de 2021. A figura base é un cadrado da lonxitude e largura da falanxe distal do dedo pequeno. As súas diagonais viradas cara un lado transforman o cadrado nun rectángulo <math>1:\sqrt{2}</mathZ. Na figura 5, esta figura rectangular marca o largo e a lonxitude da falanxe medial adxacente. A lonxitude da falanxe medial xírase en diagonal para obter a falanxe proximal e, de xeito semellante, dende alí ata o pulso, dende o pulso ata o cóbado e dende o cóbado ata a parte superior do ombreiro. Cada novo paso avanza o punto de pivote da diagonal. 
  6. Raven, J. E. (xullo 1951). The Classical Association, ed. "Polyclitus and Pythagoreanism". The Classical Quarterly (en inglés) 1 (3–4): 147–152. ISSN 0009-8388. doi:10.1017/s0009838800004122. 
  7. 7,0 7,1 7,2 O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (xaneiro de 2003). "Mathematics and art – perspective". history.mcs.st-and.ac.uk (en inglés). Universidade de St Andrews. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 Emmer, Michelle, ed. (2005). The Visual Mind II (en inglés). Cambridge, Mass / Londres: MIT Press. ISBN 9780262050760. 
  9. Vasari, Giorgio (1550). Lives of the Artists. Torrentino. p. Chapter on Brunelleschi. 
  10. Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. (1956). On Painting. Yale University Press. 
  11. Field, J. V. (1997). The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852394-9. 
  12. "Art History Resources". Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  13. 13,0 13,1 Hart, George W. "Polyhedra in Art". Consultado o 24 de xuño de 2015. 
  14. Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner-Rathus, Lois (1 de xaneiro de 2014). Culture and Values: A Survey of the Western Humanities. Cengage Learning. p. 375. ISBN 978-1-285-44932-6. que ilustran la fascinación de Uccello por la perspectiva. Los combatientes se amoldan a un campo de batalla lleno de lanzas rotas caídas sobre una cuadrícula virtual cercana y apuntan hacia un punto de fuga en algún lugar en la distancia. 
  15. della Francesca, Piero (1942). G. Nicco Fasola, ed. De Prospectiva Pingendi. Florence. 
  16. della Francesca, Piero (1970). Arrighi, G., ed. Trattato d'Abaco. Pisa. 
  17. G., Piero (1916). Mancini, ed. L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli. 
  18. Vasari, G. (1878). G. Milanesi, ed. Le Opere, volume 2. p. 490. 
  19. Piero della Francesca. L'Unità – Mondadori Arte. 1991. p. 53. 
  20. Heath, T.L. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Cambridge University Press. p. 97. 
  21. Grendler, P. (1995). M.A. Lavin, ed. What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education. University Press of New England. pp. 161–176. 
  22. Alberti, Leon Battista (1991). Kemp, Martin, ed. On Painting. Penguin Classics. 
  23. No italiano de Piero della Francesca: "Una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere"
  24. Peterson, Mark. "The Geometry of Piero della Francesca". after some elementary constructions to introduce the idea of the apparent size of an object being actually its angle subtended at the eye, and referring to Euclid's Elements Books I and VI, and Euclid's Optics, he turns, in Proposition 13, to the representation of a square lying flat on the ground in front of the viewer. What should the artist actually draw? After this, objects are constructed in the square (tilings, for example, to represent a tiled floor), and corresponding objects are constructed in perspective; in Book II prisms are erected over these planar objects, to represent houses, columns, etc.; but the basis of the method is the original square, from which everything else follows 
  25. Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters. Thames and Hudson. 2006. ISBN 978-0-500-28638-8. 
  26. "Hockney's 'Lucid' Bomb At the Art Establishment". The Washington Post. Consultado o 4 de setembro de 2015. 
  27. Marr, Andrew (7 de outubro de 2001). "What the eye didn't see". Consultado o 4 de setembro de 2015. 
  28. "An Interview with Philip Steadman". Essential Vermeer. 25 de abril de 2003. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  29. Steadman, Philip (2002). Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces. Oxford. ISBN 978-0-19-280302-3. 
  30. Hart, George. "Luca Pacioli's Polyhedra". Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  31. Morris, Roderick Conway (27 de xaneiro de 2006). "Palmezzano's Renaissance: From shadows, painter emerges". Consultado o 22 de xullo de 2015. 
  32. Calter, Paul. "Geometry and Art Unit 1". Dartmouth College. Arquivado dende o orixinal o 21 de agosto de 2009. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  33. Brizio, Anna Maria (1980). Leonardo the Artist. McGraw-Hill. 
  34. Leonardo Da Vinci, the Last Supper: A Cosmic Drama and an Act of Redemption. Temple Lodge Publishing. 2006. pp. 61–62. ISBN 978-1-902636-75-7. 
  35. Turner, Richard A. (1992). Inventing Leonardo. Alfred A. Knopf. 
  36. Wolchover, Natalie (31 de xaneiro de 2012). "Did Leonardo da Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'?". NBC News. Consultado o 27 de outubro de 2015. 
  37. "Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin" (PDF) 37 (3). 2004: 109–121. doi:10.3200/hmts.37.3.109-122. 
  38. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 299–300, 306–307. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  39. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 269–278. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  40. "Euclid's Elements, Book II, Proposition 11". Clark University. 1996. Consultado o 24 de setembro de 2015. 
  41. "The Golden Proportion and Beauty" 34 (4). 1964: 382–386. doi:10.1097/00006534-196410000-00007. 
  42. Mainzer, Klaus (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. p. 118. 
  43. "Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres". Arquivado dende o orixinal o 15 de xullo de 2017. Consultado o 29 de enero de 2014. 
  44. "Architecture: Ellipse?". The-Colosseum.net. Consultado o 29 de enero de 2014. 
  45. 45,0 45,1 Markowsky, George (January 1992). "Misconceptions about the Golden Ratio" (PDF) 23 (1): 2–19. JSTOR 2686193. doi:10.2307/2686193. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 8 de abril de 2008. Consultado o 2 de abril de 2019. 
  46. Por ejemplo, se encuentran afirmaciones como: La relación del lado inclinado respecto a la mitad de la longitud de la base es de 1.619, a menos del 1% con respecto a la proporción áurea, lo que implica el uso del triángulo de Kepler (ángulo entre lados de 51°49'). Es más probable que las pirámides se hicieran con triángulos 3-4-5 (ángulo entre lados 53°8'), conocidos según se sabe por el Papiro de Ahmes; o con el triángulo con relación base/hipotenusa 1:4/π (ángulo de la cara 51°50').
  47. Back in Time 3104 B.C. to the Great Pyramid. SOC Publishers. 1990. 
  48. Gnomon: From Pharaohs to Fractals 20. Princeton University Press. 1999. p. 523. Bibcode:1999EJPh...20..523G. ISBN 978-0-691-00514-0. 
  49. Huntley, H.E. (1970). The Divine Proportion. Dover. 
  50. Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. Sterling. p. 96. 
  51. "Mathematics of the Parthenon". Mathematics Magazine. Consultado o 24 de junio de 2015. 
  52. "The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan" 6 (1). Spring 2004: 7–16. doi:10.1007/s00004-004-0002-y. Arquivado dende o orixinal o 04 de outubro de 2008. Consultado o 15 de abril de 2021. La técnica geométrica de construcción de la sección áurea parece haber determinado las principales decisiones de la organización espacial. La sección áurea aparece repetidamente en algunas partes de las medidas del edificio. Se encuentra en la proporción general de la planta y en el dimensionamiento del espacio de oración, el patio y el minarete. La existencia de la sección áurea en algunas partes de la mezquita de Kairouan indica que los elementos diseñados y generados con este principio pueden haberse realizado en el mismo período. 
  53. "The Place of Mathematics" 57 (3). 2001: 2. 
  54. Chanfón Olmos, Carlos (1991). Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladores en construcción. Convenio de intercambio Unam–Uady. México – Mérica. 
  55. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. Bibcode:2002grsp.book.....L. 
  56. Smith, Norman A. F. (2001). "Cathedral Studies: Engineering or History" (PDF) 73: 95–137. doi:10.1179/tns.2001.005. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 11 de decembro de 2015. Consultado o 15 de abril de 2021. 
  57. McVeigh, Karen (28 de diciembre de 2009). "Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret". Consultado o 27 de octubre de 2015. 
  58. Aarts, J.; Fokkink, R.; Kruijtzer, G. (2001). "Morphic numbers" (PDF). 5 2 (1): 56–58. 
  59. 'Plástico' hace referencia a la capacidad de tomar una forma tridimensional elegida.
  60. 60,0 60,1 "Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number". 2002: 181–193. 
  61. 61,0 61,1 Salingaros, Nikos (November 1996). "The 'life' of a carpet: an application of the Alexander rules".  Reprinted in Eiland, ed. (1998). Oriental Carpet and Textile Studies V. Danville, CA: Conference on Oriental Carpets.  Erro no código da cita: Etiqueta <ref> non válida; o nome "Salingaros" está definido varias veces con contidos diferentes
  62. 62,0 62,1 Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 89–102. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  63. 63,0 63,1 Lerner, Martin (1984). The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections (Exhibition Catalogue ed.). Metropolitan Museum of Art. 
  64. 64,0 64,1 Ellison, Elaine; Venters, Diana (1999). Mathematical Quilts: No Sewing Required. Key Curriculum. 
  65. 65,0 65,1 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francoise (1999). Arabesques. Decorative Art in Morocco. Art Creation Realisation. ISBN 978-2-86770-124-5. 
  66. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 103–106. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  67. Dye, Daniel S. (1974). Chinese Lattice Designs. Dover. pp. 30–39. 
  68. Snook, Barbara. Florentine Embroidery. Scribner, Second edition 1967.
  69. Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work. Van Nostrand Reinhold, 1967.
  70. belcastro, sarah-marie (2013). "Adventures in Mathematical Knitting" 101 (2): 124. doi:10.1511/2013.101.124. 
  71. Taimina, Daina (2009). Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. A K Peters. ISBN 978-1-56881-452-0. 
  72. "Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics" 53 (3). May 1980: 139–161. Bibcode:1975MathM..48...12G. JSTOR 2690105. doi:10.2307/2690105. 
  73. Gamwell (2015), p. 423
  74. Irvine, Veronika; Ruskey, Frank (2014). "Developing a Mathematical Model for Bobbin Lace" 8 (3–4): 95–110. arXiv:1406.1532. doi:10.1080/17513472.2014.982938. 
  75. Baker, Patricia L.; Smith, Hilary (2009). Iran (3 ed.). Bradt Travel Guides. p. 107. ISBN 978-1-84162-289-7. 
  76. "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" 315 (5815). 2007: 1106–1110. Bibcode:2007Sci...315.1106L. PMID 17322056. doi:10.1126/science.1135491. 
  77. "Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 27 de setembro de 2013. Consultado o 15 de enero de 2016. 
  78. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. p. 423. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  79. Panofsky, E. (1955). The Life and Art of Albrecht Durer. Princeton. 
  80. Hart, George W. "Dürer's Polyhedra". Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  81. Dürer, Albrecht (1528). Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion. Nurenberg. Consultado o 24 de xuño de 2015. 
  82. Schreiber, P. (1999). "A New Hypothesis on Durer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving 'Melencolia I'" 26 (4): 369–377. doi:10.1006/hmat.1999.2245. 
  83. Albrecht Dürer. Londres: Medici Society. 1926. p. 94. 
  84. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlín: Gebr. Mann Verlag. 1991. pp. 17–83. 
  85. Panofsky, Erwin; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz (1964). Saturn and melancholy. Basic Books. 
  86. Óleo sobre lenzo, 194.3 × 123.8 cm do Museo Metropolitano de Arte de Nova York
  87. Rudy Rucker, The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality, Courier Corporation, 2014, ISBN 0486798194
  88. 88,0 88,1 "Crucifixion (Corpus Hypercubus)". Metropolitan Museum of Art. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  89. Lukman, Muhamad; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani (2007). "Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity" (PDF). Consultado o 26 de setembro de 2016. 
  90. Ouellette, Jennifer (novembro de 2001). "Pollock's Fractals". Consultado o 26 de setembro de 2016. 
  91. Galilei, Galileo (1623). The Assayer. , as translated in Drake, Stillman (1957). Discoveries and Opinions of Galileo. Doubleday. pp. 237–238. ISBN 978-0-385-09239-5. 
  92. Cucker (2013), p. 381
  93. Cucker (2013), p. 10
  94. King (1992), pp. 8–9
  95. King (1992), pp. 135-139
  96. "Do Mathematicians Have Different Brains?". The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip. Basic Books. 2000. p. 140. ISBN 978-0-465-01619-8. 
  97. "Mathematics in the World of Dance" (PDF). Bridges. 2012. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  98. 98,0 98,1 "Mathematics and Art". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  99. "Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  100. "Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty". Mathematical Association of America. Consultado o 2 de setembro de 2015. 
  101. Cohen, Louise (1 de julio de 2014). "How to spin the colour wheel, by Turner, Malevich and more". Tate Gallery. Consultado o 4 de setembro de 2015. 
  102. Kemp, Martin (1992). The Science of Art: Optical Themes in Western Art from Brunelleschi to Seurat. Yale University Press. ISBN 978-968-867-185-6. 
  103. Color and Culture: Practice and Meaning from Antiquity to Abstraction. University of California Press. 1999. p. 207. ISBN 978-0-520-22225-0. 
  104. "Mathematics and Art. 3. Symmetry". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  105. "Mathematics and Art. 4. Mathematical artists and artist mathematicians". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  106. Wright, Richard (1988). "Some Issues in the Development of Computer Art as a Mathematical Art Form" 1 (Electronic Art, supplemental issue): 103–110. JSTOR 1557919. doi:10.2307/1557919. 
  107. Kalajdzievski, Sasho (2008). Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics. Chapman and Hall. ISBN 978-1-58488-913-7. 
  108. "Computer art at the V&A". Victoria and Albert Museum. 26 de mayo de 2011. Consultado o 22 de setembro de 2015. 
  109. "Computer Does Drawings: Thousands of lines in each". 17 de setembro de 1962.  in Beddard, 2015.
  110. O'Hanrahan, Elaine (2005). Drawing Machines: The machine produced drawings of Dr. D. P. Henry in relation to conceptual and technological developments in machine-generated art (UK 1960–1968). Unpublished MPhil. Thesis. John Moores University, Liverpool.  in Beddard, 2015.
  111. "Catch of the day: mathematician nets weird, complex fish". The Guardian. 24 de febrero de 2015. Consultado o 25 de setembro de 2015. 
  112. ""A Bird in Flight (2016)," by Hamid Naderi Yeganeh". American Mathematical Society. 23 de marzo de 2016. Arquivado dende o orixinal o 29 de marzo de 2017. Consultado o 6 de abril de 2017. 
  113. "Next da Vinci? Math genius using formulas to create fantastical works of art". 18 de setembro de 2015. 
  114. "Generative Artists". CMUEMS. 2013. Consultado o 27 de octubre de 2015.  This includes a link to Hvidtfeldts Syntopia.
  115. "The Algorists". Consultado o 27 de octubre de 2015. 
  116. 116,0 116,1 Miller (2001), p. 171.
  117. Miller, Arthur I. (2012). Insights of Genius: Imagery and Creativity in Science and Art. Springer. ISBN 978-1-4612-2388-7. 
  118. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 315–317. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  119. Henderson, Linda D. (1983). The Fourth Dimension and Non-Euclidean geometry in Modern Art. Princeton University Press. 
  120. Cubism and Culture (PDF). Thames & Hudson. 2001. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 26 de xullo de 2020. Consultado o 15 de abril de 2021.  (enlace roto)
  121. The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought. University of Chicago Press. 1997. p. 312. ISBN 978-0-226-22480-0. 
  122. Green, Christopher (1987). Cubism and its Enemies, Modern Movements and Reaction in French Art, 1916–1928. Yale University Press. pp. 13–47. 
  123. "Note sur la peinture". October–November 1910: 60.  in Einstein, Picasso. Basic Books. 2001. p. 167. 
  124. Adcock, Craig (1987). "Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis" 16 (1): 149–167. 
  125. "Man Ray–Human Equations A Journey from Mathematics to Shakespeare. February 7 – May 10, 2015". Phillips Collection. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  126. DADA, Surrealism, and the Cinematic Effect. Wilfrid Laurier University Press. 2013. p. 602. ISBN 978-1-55458-641-7. 
  127. Tubbs, Robert (2014). Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning. JHU Press. p. 118. ISBN 978-1-4214-1402-7. 
  128. "Hiroshi Sugimoto Conceptual Forms and Mathematical Models February 7 – May 10, 2015". Phillips Collection. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  129. Tubbs, Robert (2014). Mathematics in 20th-Century Literature and Art. Johns Hopkins. pp. 8–10. ISBN 978-1-4214-1380-8. 
  130. "See How Man Ray Made Elliptic Paraboloids Erotic At This Phillips Collection Photography Exhibit". Forbes. 13 de febrero de 2015. Consultado o 10 de setembro de 2015. 
  131. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. pp. 311–312. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  132. Hedgecoe, ed. (1968). Henry Moore: Text on His Sculpture. Simon and Schuster. p. 105. 
  133. "De Stijl". The Tate. Consultado o 11 de setembro de 2015. 
  134. A Dictionary of Architecture and Landscape Architecture (Second ed.). Oxford University Press. 2006. ISBN 978-0-19-860678-9. 
  135. Tubbs, Robert (2014). Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning. JHU Press. pp. 44–47. ISBN 978-1-4214-1402-7. 
  136. "Tour: M.C. Escher – Life and Work". NGA. Arquivado dende o orixinal o 3 de agosto de 2009. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  137. "MC Escher". Mathacademy.com. 1 de noviembre de 2007. Arquivado dende o orixinal o 11 de octubre de 2007. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  138. Penrose, L.S.; Penrose, R. (1958). "Impossible objects: A special type of visual illusion" 49 (1): 31–33. PMID 13536303. doi:10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x. 
  139. Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H. (1985). The complexity of recognizing polyhedral scenes. pp. 175–185. ISBN 978-0-8186-0644-1. doi:10.1109/sfcs.1985.59. 10.1.1.100.4844 
  140. Line Drawing Interpretation. Springer-Verlag. 2008. pp. 217–230. ISBN 978-1-84800-229-6. doi:10.1007/978-1-84800-229-6_9. 
  141. Roberts, Siobhan (2006). 'Coxetering' with M.C. Escher. Walker. p. Chapter 11. 
  142. Escher, M.C. (1988). The World of MC Escher. Random House. 
  143. Escher on Escher: Exploring the Infinite. HN Abrams. 1989. 
  144. "Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  145. Marcolli, Matilde (July 2016). The notion of Space in Mathematics through the lens of Modern Art (PDF). Century Books. pp. 23–26. 
  146. "John Robinson". Bradshaw Foundation. 2007. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  147. "Helaman Ferguson web site". Helasculpt.com. Arquivado dende o orixinal o 11 de abril de 2009. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  148. Thurston, William P. (1999). Levy, Silvio, ed. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson (PDF). MSRI Publications. pp. 1–7. 
  149. "MAA book review of The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve". Maa.org. 14 de noviembre de 1993. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  150. "The Math Geek Holiday Gift Guide". Scientific American. 23 de noviembre de 2014. Consultado o 7 de junio de 2015. 
  151. "Gallery: Bathsheba Grossman". Symmetry Magazine. Consultado o 7 de junio de 2015. 
  152. Fleron, Julian F.; Ecke, Volker; von Renesse, Christine; Hotchkiss, Philip K. (January 2015). Art and Sculpture: Mathematical Inquiry in the Liberal Arts (2nd ed.). Discovering the Art of Mathematics project. 
  153. Henderson, David; Taimina, Daina (2001). "Crocheting the hyperbolic plane" (PDF) 23 (2): 17–28. doi:10.1007/BF03026623. .
  154. Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd (2004). "Crocheting the Lorenz manifold" 26 (4): 25–37. doi:10.1007/BF02985416. 10.1.1.108.4594 
  155. "Periodic forests of stunted trees". Series A, Mathematical and Physical Sciences 266 (1172). 1970: 63–111. Bibcode:1970RSPTA.266...63M. JSTOR 73779. doi:10.1098/rsta.1970.0003. 
  156. "Pat Ashforth & Steve Plummer – Mathekniticians". Consultado o 4 de octubre de 2015. 
  157. Ward, Mark (20 de agosto de 2012). "Knitting reinvented: Mathematics, feminism and metal". BBC. Consultado o 23 de setembro de 2015. 
  158. "Menger Sponge". Consultado o 23 de setembro de 2015. 
  159. "Afghans for Schools". Consultado o 23 de setembro de 2015. 
  160. "Mathghans with a Difference". Simply Knitting Magazine. 1 de xullo de 2008. Arquivado dende o orixinal o 25 de setembro de 2015. Consultado o 23 de setembro de 2015. 
  161. Jouffret, Esprit (1903). Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions (en francés). Paris: Gauthier-Villars. OCLC 1445172. Consultado o 26 de setembro de 2015. 
  162. Maurice Princet deulle unha copia a Pablo Picasso. Os seus cadernos de debuxo para Las señoritas de Avignon ilustran aa influencia de Jouffret.
  163. Miller, Arthur I. (2001). Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc. New York: Basic Books. p. 171. ISBN 978-0-465-01860-4. 
  164. Seckel, Hélène (1994). "Anthology of Early Commentary on Les Demoiselles d'Avignon". En William Rubin; Hélène Seckel; Judith Cousins. Les Demoiselles d'Avignon. New York: Museum of Modern Art. p. 264. ISBN 978-0-87070-162-7. 
  165. "Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych". The Vatican. Consultado o 16 de setembro de 2015. 
  166. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. pp. 337–338. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  167. "Art and Mathematics". 5 de setembro de 2007. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  168. Hofstadter, Douglas R. (1980). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Penguin. p. 627. ISBN 978-0-14-028920-6. 
  169. Hall, James (10 de junio de 2011). "René Magritte: The Pleasure Principle – exhibition". Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  170. King, Elliott (2004). Ades, ed. Dali. Milan: Bompiani Arte. pp. 418–421. 
  171. "Stone balancing" (PDF) (29). July 2013. Consultado o 10 de junio de 2017. 
  172. Hofstadter, Douglas R. (1980). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Penguin. pp. 98–99, 690–717. ISBN 978-0-394-74502-2. 
  173. "The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery" 50 (4). 2003: 446–451. 
  174. "Applying mathematics to Escher's Print Gallery". Leiden University. Arquivado dende o orixinal o 14 de xaneiro de 2018. Consultado o 10 de noviembre de 2015. 
  175. "Van Gogh and the Algorithm: How Math Can Save Art". Time Magazine. 16 de junio de 2014. Consultado o 4 de setembro de 2015. 
  176. "The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study". Society for Industrial and Applied Mathematics. 18 May 2009. Arquivado dende o orixinal o 07 de setembro de 2015. Consultado o 4 de setembro de 2015. 
  177. Jackson Pollock, 1912–1956. 2003. p. 63. ISBN 978-3-8228-2132-9. 
  178. "Fractal analysis of Pollock's drip paintings" (PDF) 399 (6735). June 1999: 422. Bibcode:1999Natur.399..422T. doi:10.1038/20833. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 16 de agosto de 2015. Consultado o 15 de abril de 2021. 
  179. Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David (October 1999). "Fractal Expressionism: Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?" 12 (10): 25–28. doi:10.1088 / 2058-7058 / 12/10/21 |doi= incorrecto (Axuda). Arquivado dende o orixinal o 05 de agosto de 2012. Consultado o 2 de abril de 2019. Pollock died in 1956, before chaos and fractals were discovered. It is highly unlikely, therefore, that Pollock consciously understood the fractals he was painting. Nevertheless, his introduction of fractals was deliberate. For example, the colour of the anchor layer was chosen to produce the sharpest contrast against the canvas background and this layer also occupies more canvas space than the other layers, suggesting that Pollock wanted this highly fractal anchor layer to visually dominate the painting. Furthermore, after the paintings were completed, he would dock the canvas to remove regions near the canvas edge where the pattern density was less uniform 
  180. King, M. (2002). "From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science." (PDF). Consultado o 17 de setembro de 2015. 
  181. Dodgson, N. A. (2012). "Mathematical characterisation of Bridget Riley's stripe paintings" (PDF) 5 (2–3): 89–106. doi:10.1080/17513472.2012.679468. over the course [of] the early 1980s, Riley's patterns moved from more regular to more random (as characterised by global entropy), without losing their rhythmic structure (as characterised by local entropy). This reflects Kudielka's description of her artistic development. 
  182. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 116–120. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  183. The World of Geometric Toys, Origami Spring, August, 2007.
  184. "The Geometry of Perspective Drawing on the Computer". University of Utah. 24 de julio de 2001. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  185. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. p. xviii. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  186. "Mathematics and Art. 6. Origami". American Mathematical Society. Consultado o 1 de setembro de 2015. 
  187. T. Sundara Rao (1893). Geometric Exercises in Paper Folding. Addison. 
  188. "Mathematics of Origami, part 9". June 1986: 28–30. .
  189. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics 42. Mathematical Association of America. p. 57. ISBN 978-0-88385-348-1. 
  190. "One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms" (PDF). 2009. 
  191. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 163–166. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  192. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. pp. 406–410. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  193. Ghyka, Matila (2003). The Geometry of Art and Life. Dover. pp. ix–xi. ISBN 978-0-486-23542-4. 
  194. Lawlor, Robert (1982). Sacred Geometry: Philosophy and Practice. Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-81030-9. 
  195. 195,0 195,1 "Celestial Themes in Art & Architecture". Dartmouth College. 1998. Consultado o 5 de setembro de 2015. [Ligazón morta] Erro no código da cita: Etiqueta <ref> non válida; o nome "Calter" está definido varias veces con contidos diferentes
  196. "The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe". MathPages. Consultado o 5 de setembro de 2015. 
  197. "The golden ratio and aesthetics". November 2002. Consultado o 26 de junio de 2015. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (en inglés). Cambridge / Nova York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-72876-8. 
  • Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History (en inglés). Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16528-8. 
  • King, Jerry P. (1992). The Art of Mathematics (en inglés). Nova York: Fawcett Columbine. ISBN 978-0-449-90835-8. 
  • Miller, Arthur I. (2001). Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc (en inglés). Nova York: Basic Books. ISBN 978-0-465-01860-4. 

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]