Teorema da función inversa

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condiciones suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no entorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rn ou xeralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobina nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobino da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobino no punto.

(F^{-1}(p))'=(F'(p))^{-1}\,


Enunciado[editar | editar a fonte]

A versión en \mathbb{R}^n do teorema é a seguinte:

Sexa f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n unha función C1. Supoñendo que para a \in A, a diferencial Df(a)\, é invertible e que f(a)=b\,, entón existen abertos U,V \subset \mathbb{R}^n de modo que a\in U, b\in V e f:U\rightarrow V é unha función bixectiva, polo que a inversa f^{-1}:V\rightarrow U de f\, é C1 e polo tanto Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Considerando a función F de R2 en R2 definida por


\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}\\
\end{bmatrix}

O seu xacobino é


J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
 {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
\end{bmatrix}

e o seu determinante


\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
e^{2x}.
\,\!

Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R2, existe unha contorna de p na que F é invertible.

Variedades diferenzables[editar | editar a fonte]

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F : MN entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F,

(dF)p : TpM → TF(p)N

é un isomorfismo lineal (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que

F|U : UF(U)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é undifeomorfismo local.

Inversa global[editar | editar a fonte]

O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requerimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:


f:\Omega \subset \R^n \to \R^m,\quad m \ge n, \quad f\in C^1(\Omega,\R^m)

Pode demostrarse que existe unha constante \scriptstyle c(\Omega) se cumpre:


\max_{x\in \bar{\Omega}} \|Du_f(x)\| =
\sup_{x\in \Omega} \|Du_f(x)\| < c(\Omega)\le 1

De maneira que a función f admite inversa global, onde uf é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:


u_f(x)= f(x)-x \in \R^n

Pode demostrarse que \scriptstyle c(\Omega) = 1 se o dominio \scriptstyle \Omega é convexo, mentres que un dominio non convexo require \scriptstyle c(\Omega) < 1 .

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]