Límite superior e límite inferior

Unha ilustración representando o límite superior e o límite inferior. A sucesión x_n está denotada nunha liña de puntos azul. As dúas curvas vermellas aproxímanse ao límite superior e límite inferior de x_n, que se amosan como liñas a trazos vermellas, continuas á dereita. O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (i.e., cando o límite é común).

En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (x_n) como o maior e menor límite converxente das subsecuencias de (x_n). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

Definición formal

Formalmente o límite inferior dunha sucesión $(x_n)$ defínese como

$\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\geq 0\}$

ou tamén como

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)$

e denótase como $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ ou como $\varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n$. Analogamente defínese $\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right)$.

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada secuencia ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión $(x_n)$, entón cúmprese que $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.$

Propiedades

Sexan $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ e $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ secuencias de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:

• $\liminf_{n\to\infty}a_n\leq \limsup_{n\to\infty}a_n\,$
• $\liminf_{n\to\infty}-a_n= -\limsup_{n\to\infty}a_n\,$
• $\limsup_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\leq \limsup_{n\to\infty}a_n +\limsup_{n\to\infty} b_n \,$
• $\liminf_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\geq \liminf_{n\to\infty}a_n +\liminf_{n\to\infty} b_n \,$

Limite superior e inferior dunha secuencia de conxuntos

Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de limite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se $E_n\,$ é unha secuencia de conxuntos, entón defínese:

• O limite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos $E_n\,$.
• O limite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos $E_n\,$ excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:

• $\limsup_{n\to\infty} E_n =\overline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k\,$
• $\liminf_{n\to\infty} E_n =\underline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}E_k\,$

Cúmprese sempre que $\liminf_{n\to\infty} E_n\subseteq \limsup_{n\to\infty} E_n\,$. Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o limite existe:

$\lim_{n\to\infty} E_n=\liminf_{n\to\infty} E_n= \limsup_{n\to\infty} E_n\,$

Véxase tamén

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).