Fórmula (lóxica)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Lóxica matemática, unha fórmula é unha representación dunha proposición dentro dunha certa linguaxe formal.

Grosso modo, unha fórmula é unha frase construída segundo as regras gramaticais dunha determinada linguaxe formal, con respecto de obxectos do universo de discurso.

Fórmula en lóxica clásica de primeira orde[editar | editar a fonte]

A definición exacta dunha fórmula depende do tipo particular da lóxica formal que se considere, pero unha definición bastante típica (específica da lóxica de primeira orde) é a seguinte: as fórmulas se definen en relación a unha linguaxe matemática particular, é dicir, unha colección de variábeis, constantes, símbolos lóxicos, símbolos de función e símbolos de relación particulares, e poden ser:

  • R(t0, …, tn), onde R é un símbolo de relacióno n-ario (co n >= 0) e t0, …, tn son termos, ou
  • , ou
  • , ou
  • (¬φ), onde φ é unha fórmula, ou
  • (φ∧ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
  • (φ∨ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
  • (φ → ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
  • (φ ↔ ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
  • (∀x)(φ), onde x é unha variábel e φ é unha fórmula, ou
  • (∃x)(φ), onde x é unha variábel e φ é uma fórmula.

O primeiro caso chámase fórmula atómica.

E un termo pode ser definido, tamén recursivamente, por:

  • Unha variábel.
  • Un símbolo de constante, ou
  • f(t0, …, tn), onde f é un símbolo de función n-aria(con n >= 0) aplicada a termos.

É necesario observar que cando unha FBF non é unha fórmula pechada, xa que nese caso non pode ser clasificada como unha fórmula proposicional. Ora ben, dada a fórmula pechada \exists \mathrm{x} \forall \mathrm{y}(\mathrm{R}(\mathrm{x} , \mathrm{y})) onde R é unha relación binaria e x e y son termos, podemos interpretala, por exemplo, por: para todo número natural hai un número menor ou igual a el, e sabemos que iso é verdadeiro, pero se tomamos a fórmula ben formada: \exists \mathrm{x} (\mathrm{P}(\mathrm{x} , \mathrm{y})), onde P é un símbolo de relación binaria e x e y son termos, a máxima interpretación que podemos dar a esa fórmula é: existe um número x menor que ___, por exemplo, e non hai maneira de verificar se esa fórmula é ou non verdadeira.

Exemplos[editar | editar a fonte]

Un exemplo de fórmula proposicional para lóxica clásica de primeira orde pode ser:

  • \exists \mathrm{z} \forall \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{z} , \mathrm{x})) , onde P é u símbolo de relación binaria e x e z son termos.
  • \exists \mathrm{y} \forall \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{x} , \mathrm{y}) \land (\mathrm{R}(\mathrm{x}))) , onde x e y son variábeis e P e R son símbolos de relacións binaria e unaria respectivamente.

Un non-exemplo sería:

  • \exists \mathrm{z}(\mathrm{P}(\mathrm{z} , \mathrm{x})) , onde x e z son termos, e P é un símbolo de función.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Bedregal, Benjamín R. Callejas & Acióly, Benedito Melo (2002): Lógica para a Ciência da Computação. (Versión preliminar).
  • Hinman, P. (2005): Fundamentals of Mathematical Logic. A. K. Peters. ISBN 1-568-81262-0

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]