Saltar ao contido

Teorema de Sard

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.

Enunciado[editar | editar a fonte]

Sexa,[1]

, (é dicir, veces continuamente diferenciable), onde . Se denota o conxunto crítico de que é o conxunto de puntos no que a matriz xacobiana de ten rango , daquela a imaxe ten unha medida de Lebesgue 0 en .

Falando intuitivamente, isto significa que aínda que pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres pode ter moitos puntos críticos no dominio , debe ter poucos valores críticos na imaxe .

De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis e de dimensións e , respectivamente. O conxunto crítico dunha función

consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes

ten rango inferior a como transformación lineal. Se , entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de . Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.

Variantes[editar | editar a fonte]

Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso foi probado por Anthony P. Morse en 1939,[2] e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.[1]

Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.[3]

A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.

En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se é para e se é o conxunto de puntos tal que ten un rango estritamente inferior a , entón a medida de Hausdorff r-dimensional de é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff pode estar arbitrariamente próxima a r.[4]

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]