Teorema de Sard
En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.
Enunciado[editar | editar a fonte]
Sexa,[1]
, (é dicir, veces continuamente diferenciable), onde . Se denota o conxunto crítico de que é o conxunto de puntos no que a matriz xacobiana de ten rango , daquela a imaxe ten unha medida de Lebesgue 0 en .
Falando intuitivamente, isto significa que aínda que pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres pode ter moitos puntos críticos no dominio , debe ter poucos valores críticos na imaxe .
De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis e de dimensións e , respectivamente. O conxunto crítico dunha función
consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes
ten rango inferior a como transformación lineal. Se , entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de . Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.
Variantes[editar | editar a fonte]
Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso foi probado por Anthony P. Morse en 1939,[2] e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.[1]
Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.[3]
A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.
En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se é para e se é o conxunto de puntos tal que ten un rango estritamente inferior a , entón a medida de Hausdorff r-dimensional de é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff pode estar arbitrariamente próxima a r.[4]
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ 1,0 1,1 Sard, Arthur (1942). The measure of the critical values of differentiable maps. Bulletin of the American Mathematical Society 48. pp. 883–890. MR 0007523. Zbl 0063.06720. doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6.
- ↑ Morse, Anthony P. (xaneiro de 1939). The behaviour of a function on its critical set. Annals of Mathematics 40. pp. 62–70. Bibcode:1939AnMat..40...62M. JSTOR 1968544. MR 1503449. doi:10.2307/1968544.
- ↑ Smale, Stephen (1965). An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem. American Journal of Mathematics 87. pp. 861–866. JSTOR 2373250. MR 0185604. Zbl 0143.35301. doi:10.2307/2373250.
- ↑ Show that f(C) has Hausdorff dimension at most zero. Stack Exchange. July 18, 2013.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Teorema de Sard |
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. New York: Springer. pp. 67–84. ISBN 0-387-90148-5.
- Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. MR 0193578. Zbl 0129.13102.