Serie de Fourier

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirixido desde "Series de Fourier")

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

onde e denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódica[editar | editar a fonte]

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e , e daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencial[editar | editar a fonte]

Pola identidade de Euler(), e operando adecuadamente, se

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

En forma máis compacta:

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Solución de ecuacións diferenciais[editar | editar a fonte]

A ecuación a resolver

Enxeñaría[editar | editar a fonte]

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

Polo tanto:

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp[editar | editar a fonte]

Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

  1. Se daquela
  2. A transformada de Fourier é un morfismo: —isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral[editar | editar a fonte]

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]


Este artigo tan só é un bosquexo
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.