Unha operación binaria defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.
Dados tres conxuntos A, B e C, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores a de A e b de B un só valor c de C, que podemos representar:
![{\displaystyle f:\;A\times B\to C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d6db57270724445360a351bb5f87c5f8800f2f)
Representando a operación polo signo
podemos expresar a operación:
![{\displaystyle a\circledcirc b=c\;,\quad \circledcirc (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circledcirc }}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb4ea6ea10ed4318c5cf85286f46d5ecefb3e08)
Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}+:\;N\times N&\to &N\\(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9b183b82a48e3b4d6d3ef2b89fb863f86b1a9d)
e temos que:
![{\displaystyle 2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b178ac3eafc9100ce01118b426038f0aa339623d)
O número de argumentos dunha función denomínase aridade.
Segundo os conxuntos A, B e C podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que A = B = C, e as externas que son tódalas demais.
Se a cada par de valores (a, b) de
a operación lle corresponde un valor c de A:
![{\displaystyle f:\;A\times A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3b88c2c3b2402787cc54114898cea9e151b846)
dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións
, e a suma de vectores, temos:
![{\displaystyle +:\;V^{3}\times V^{3}\to V^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b789156d867b30c4989486569ac817bd7832e1)
que a suma de dous vectores de
é outro vector de
. Por exemplo, dados os vectores:
![{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13fe8c5b624d87213f6602af5350ec7f8b0bb78)
![{\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83942849620f676d8c203780c3db462f9373af87)
a súa suma é:
![{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011ccd3131e2f9b82893d54040079c6c221f5506)
Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:
- Se a cada par de valores a de A e b de B, asígnaselle un valor c de A,
![{\displaystyle f:\;A\times B\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c3cb228ba7d75b6c4666c9496bb96ba6272dd5)
a esta operación tamén se lle denomina lei de composición externa. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:
![{\displaystyle \cdot :\;V^{3}\times R\to V^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c99091e497d557847cd0610b528fd57c6475777)
así, dado o vector:
![{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13fe8c5b624d87213f6602af5350ec7f8b0bb78)
o resultado de multiplicalo por un escalar b, será:
![{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89f65bf8cc2e9a904a2d1cae57cfa7b4be9ad52)
- Se a operación é da forma:
![{\displaystyle f:\;A\times A\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f0d2f97113bc85bfb04099baf683dd6ab2313e)
na que a cada par de valores a, b de A se lle asigna un c de B, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:
![{\displaystyle \circ :\;V^{3}\times V^{3}\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4df57fb626cf66234149526eb976951e5a186a8)
así pois, dados os vectores:
![{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13fe8c5b624d87213f6602af5350ec7f8b0bb78)
![{\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83942849620f676d8c203780c3db462f9373af87)
o seu produto escalar será:
![{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cd47d0fb103b59f8d245e359afb06245e43ae4)
- Se a operación lle asigna a cada par de valores a de A e b de B un c de C, sendo A, B e C conxuntos distintos:
![{\displaystyle f:\;A\times B\to C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d6db57270724445360a351bb5f87c5f8800f2f)
é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}/:\;Z\times N&\to &Q\\(a,b)&\to &c=a/b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ecef9ae01b8656f4a2db471da323c99d19d138)