Número superperfecto

En teoría de números, un número superperfecto é un número enteiro positivo n que satisfai

$\sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,$

onde σ é a función sumatorio de divisores. Os números superperfectos non son unha xeneralización dos números perfectos senón que teñen unha xeneralización común. O termo foi acuñado por D. Suryanarayana (1969).

Os primeiros números superperfectos son:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824 ,... (secuencia A019279 na OEIS).

Para poder entedelo mellor, aquí un exemplo: 16 é un número superperfecto xa que σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, e σ(31) = 1 + 31 = 32, polo que σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16.

Se n é un número superperfecto par, entón n debe ser unha potencia de 2, 2^k, tal que 2^k+1 − 1 é un primo de Mersenne.

Non se sabe se existen números superperfectos impares. Un número superperfecto impar n tería que ser un número cadrado tal que n ou σ(n) sexa divisible por polo menos tres primos distintos. Non hai números superperfectos impares por debaixo de $7\times 10^{24}$.

Xeneralizacións

Os números perfectos e superperfectos son exemplos dunha clase denominada números m-superperfectos, que son os que satisfán

$\sigma ^{m}(n)=2n,$

para os números perfectos m=1 e para os superperfectos m=2 respectivamente. Para m ≥ 3 non hai números m-superperfectos pares.

Os números m-superperfectos son á súa vez exemplos de (m, k)-números perfectos que satisfán

$\sigma ^{m}(n)=kn\,.$

Con esta notación, os números perfectos son (1,2)-perfectos, os números multiperfectos son (1, k)-perfectos, os números superperfectos son (2,2)-perfectos e os números m-superperfectos son (m, 2)-perfectos. Exemplos de clases de (m, k)-números perfectos son:

m	k	números (m,k)-perfectos	Secuencia OEIS
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	(secuencia A019279 na OEIS)
2	3	8, 21, 512	(secuencia A019281 na OEIS)
2	4	15, 1023, 29127	(secuencia A019282 na OEIS)
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	(secuencia A019283 na OEIS)
2	7	24, 1536, 47360, 343976	(secuencia A019284 na OEIS)
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	(secuencia A019285 na OEIS)
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	(secuencia A019286 na OEIS)
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	(secuencia A019287 na OEIS)
2	11	4404480, 57669920, 238608384	(secuencia A019288 na OEIS)
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	(secuencia A019289 na OEIS)
3	calquera	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	(secuencia A019292 na OEIS)
4	calquera	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	(secuencia A019293 na OEIS)

Véxase tamén

Bibliografía

• Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. (1996). "Iterating the sum-of-divisors function". Experimental Mathematics: 93–100. doi:10.1080/10586458.1996.10504580. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Sándorf, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of number theory I. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. 

Ligazóns externas

• Superperfect Number at PlanetMath.