Módulo libre de torsión

En álxebra, un módulo libre de torsión é un módulo sobre un anel tal que o cero é o único elemento anulado por un elemento regular (non divisor de cero) do anel. Noutras palabras, un módulo é libre de torsión se o seu submódulo de torsión só contén o elemento cero.

Nos dominios de integridade os elementos regulares do anel son os seus elementos distintos de cero, polo que, neste caso, un módulo libre de torsión é un módulo tal que o cero é o único elemento anulado por algún elemento distinto de cero do anel. Algúns autores traballan só sobre dominios de integridade e usan esta condición como a definición dun módulo libre de torsión, pero isto non funciona ben con aneis máis xerais, xa que se o anel contén divisores de cero, entón o único módulo que satisfai esta condición é o módulo cero.

Exemplos de módulos libre de torsión[editar | editar a fonte]

Sobre un anel conmutativo R con anel cociente total K, un módulo M é libre de torsión se e só se Tor₁ (K/R, M ) desaparece. Polo tanto, os módulos planos, e en particular os módulos libres e os proxectivos son módulos libres de torsión, pero non ten por que ser certo o contrario^[1]. Un exemplo de módulo libre de torsión que non é plano é o ideal (x, y) do anel polinómico k[x, y] sobre un corpo k, interpretado como un módulo sobre k[x, y].

Calquera módulo sen torsión sobre un dominio de integridade é un módulo libre de torsión, mais o contrario non é certo, xa que Q é un Z-módulo libre de torsión que non é un módulo sen torsión.

Estrutura de módulos libre de torsión[editar | editar a fonte]

Sobre un dominio integral noetheriano, os módulos libres de torsión son os módulos cuxo único primo asociado é cero. De forma máis xeral, sobre un anel conmutativo noetheriano, os módulos libres de torsión son aqueles módulos cuxos números primos asociados están contidos nos números primos asociados do anel.

Sobre un dominio Dedekind, un módulo xerado finitamente é libre de torsión se e só se é proxectivo, pero en xeral non é libre. Calquera módulo deste tipo é isomórfico á suma dun módulo libre finitamente xerado e un ideal, e a clase do ideal está determinada unicamente polo módulo.

Sobre un dominio noetheriano integralmente pechado, calquera módulo sen torsión xerado finitamente ten un submódulo libre tal que o cociente por el é isomorfo a un ideal do anel.

Sobre un dominio ideal principal, os módulos xerados de forma finita son libres de torsión se e só se son libres.

Cubertas libre de torsión[editar | editar a fonte]

Sobre un dominio de integridade, cada módulo M ten unha cuberta libre de torsión F → M desde un módulo libre de torsión F ata M, coas propiedades que calquera outro módulo libre de torsión mapeado en M factorízase a través de F, e calquera endomorfismo de F sobre M é un automorfismo de F. Tal cuberta libre de torsión de M é única ata un isomorfismo. As cubertas libres de torsión están estreitamente relacionadas coas cubertas planas.

Feixe quasicoherente libre de torsión[editar | editar a fonte]

Un feixe quasicoherente F sobre un esquema X é un feixe de ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulos tal que para calquera subesquema afín aberto U = Spec(R) a restrición F|_U está asociada a un módulo M sobre R. O feixe F dise que é libre de torsión se todos eses módulos M son libres de torsión nos seus respectivos aneis. Alternativamente, F é libre de torsión se e só se non ten seccións de torsión locais.^[2]