Funcións chan e teito

Funcións chan e teito

Función chan

Función teito

En matemáticas, a función chan (ou parte enteira cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real x, e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a x, denotado ⌊x⌋. Do mesmo xeito, a función teito mapea x co número enteiro máis pequeno maior ou igual que x, denotado ⌈x⌉.

Por exemplo, para o chan: ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, e para o teito: ⌈4.4⌉ = 5 e ⌈−4.4⌉ = −4.

Exemplos

x	Piso ⌊x⌋	Teito ⌈x⌉	Parte fraccional {x}
2	2	2	0
2.0001	2	3	0,0001
2.4	2	3	0,4
2.9	2	3	0,9
2.999	2	3	0,999
− 2.7	− 3	− 2	0,3
− 2	− 2	− 2	0

Notación

A parte enteira ou parte enteira dun número (partie entière no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.

A parte fracciónal denótase por {x} para x real e definida pola fórmula

{x} = x − ⌊x⌋

Para todo x,

0 ≤ {x} < 1.

No sistema LaTeX, estes símbolos pódense especificar coas palabras \lceil, \rceil, \lfloor e \rfloor.

Definición e propiedades

Dados os números reais x e y, os enteiros m e n e o conxunto de números enteiros $\mathbb {Z}$, chan e teito poden ser definidos polas ecuacións

$\lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},$

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.$

Equivalencias

Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito.

${\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ se e só se }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ se e só se }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ se e só se }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ se e só se }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}$

Para enteiros n temos:

${\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}$

Para x e y reais temos as seguintes desigualdades:

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}$

Monótonas

Tanto as funcións chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes:

${\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}$

Relacións entre as funcións

$\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,$ con igualdade se e só se x é un número enteiro, é dicir

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo:

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}$

e:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

A negación do argumento complementa a parte fraccional:

$\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

As funcións chan, teito e parte fraccional son idempotentes:

${\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}$

O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna:

${\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\end{aligned}}$

constante de Euler gamma ($\gamma$)

Existen fórmulas para a constante de Euler $\gamma$ = 0,57721 56649... que inclúen o chan e o teito, por exemplo

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.$

$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).$

Fórmulas para números primos

A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que ${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$ é igual a 1 se m divide n, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo n é primo se e só se

$\sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.$

Problemas resolvidos

Ramanujan presentou estes problemas ao Journal of the Indian Mathematical Society.

Se n é un número enteiro positivo, proba que

1. $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,$
2. $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,$
3. $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores.

Problema sen resolver

O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:

Existe algún número enteiro positivo k ≥ 6 tal que

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\$ ?}

Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses k. De momento non se coñece ningún.

Véxase tamén

Bibliografía

• J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. ISBN 0-387-94777-9. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25
• ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962). A Programming Language. Wiley. 
• Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. ISBN 3-540-66957-4. 
• Ramanujan, Srinivasa (2000). Collected Papers. Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2076-6. 
• Ribenboim, Paulo (1996). The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. ISBN 0-387-94457-5. 
• Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986). The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.). Oxford: Oxford U. P. ISBN 0-19-853369-1. 

Outros artigos

• Función paso
• Operación Módulo

Ligazóns externas

• "Floor function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions" Arquivado 23 de maio de 2009 en Wayback Machine., Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
• Weisstein, Eric W. "Floor Function". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". MathWorld.