Función masa de probabilidade

A gráfica dunha función de masa de probabilidade. Todos os valores desta función deben ser non negativos e sumar 1.

En probabilidade e estatística, unha función de masa de probabilidade (ás veces chamada función de probabilidade ou función de frecuencia ) é unha función que dá a probabilidade de que unha variable aleatoria discreta sexa exactamente igual a algún valor. Ás veces tamén se coñece como función de densidade de probabilidade discreta. A función de masa de probabilidade adoita ser o medio principal para definir unha distribución de probabilidade discreta, e estas funcións existen para variables aleatorias escalares ou multivariabeis cuxo dominio é discreto.

Unha función de masa de probabilidade difire dunha función de densidade de probabilidade (PDF) en que esta última está asociada a variables aleatorias continuas e non discretas.

O valor da variable aleatoria que ten a maior masa de probabilidade chámase moda.

Definición formal

A función de masa de probabilidade é a distribución de probabilidade dunha variable aleatoria discreta e proporciona os valores posibeis e as súas probabilidades asociadas. É a función $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ definida por

$p_{X}(x)=P(X=x){\text{ para }}-\infty <x<\infty$

Cumpre que $\sum _{x}p_{X}(x)=1$ e $p_{X}(x)\geq 0.$

Exemplos

Finito

Hai tres distribucións principais como exemplo, a distribución de Bernoulli, a distribución binomial e a distribución xeométrica.

• Distribución de Bernoulli: ber(p) , úsase para modelar un experimento con só dous resultados posibles. Os dous resultados adoitan codificarse como 1 e 0. $$p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{se }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{se }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}$$ Un exemplo sería lanzar unha moeda. Se $S$ é o espazo mostral do lanzamento dunha moeda non trucada, e $X$ é unha variable aleatoria definida en $S$ asignamos 0 a "cruz" e 1 a "cara". Dado que a moeda non está trucada, a función masa de probabilidade é $$p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$$
• Distribución binomial, modela o número de éxitos cando alguén fai n experimentos con substitución. Cada experimento é independente, con dous resultados posibeis. A súa función masa de probabilidade é ${\textstyle p(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

  

  Función masa de probabilidade de tirar un dado. Todos os números do dado teñen a mesma probabilidade de aparecer.

  Un exemplo da distribución binomial é a probabilidade de obter exactamente un 6 cando alguén lanza un dado 3 veces: $P(X=3)={3 \choose 3}(1/6)^{3}(5/6)^{0}=(1/6)^{3}$.
• A distribución xeométrica describe o número de probas necesarias para obter un éxito. A súa función de masa de probabilidade é ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$. Un exemplo é lanzar unha moeda ata que aparece a primeira "cara". $p$ denota a probabilidade do resultado "cara", e $k$ denota o número de lanzamentos de moedas necesarios.
• Un exemplo dunha distribución discreta multivariábel, e da súa función de masa de probabilidade, é o da distribución multinomial. Aquí as variabeis aleatorias múltiples son o número de éxitos en cada unha das categorías despois dun determinado número de probas, e cada masa de probabilidade distinta de cero dá a probabilidade dunha determinada combinación de números de éxitos nas distintas categorías.

Infinito

Sería un caso nada frecuente.

A seguinte distribución exponencialmente decrecente é un exemplo dunha distribución cun número infinito de resultados posibles, todos os enteiros positivos: $${\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i=1,2,3,\dots$$ A pesar do número infinito de resultados posibeis, a masa de probabilidade total é 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, satisfacendo o requisito de probabilidade total unitaria para unha distribución de probabilidade.

Caso multivariábel

Dúas ou máis variables aleatorias discretas teñen unha función de masa de probabilidade conxunta, que dá a probabilidade de cada combinación posible de realizacións para as variabeis aleatorias.

Véxase tamén

Bibliografía

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (2nd ed.). Wiley. p. 36. ISBN 0-471-54897-9. 

Outros artigos

• Función de densidade.