Forzas xeneralizadas

En mecánica analítica (particularmente a mecánica lagranxiana), as forzas xeneralizadas son conxugadas das coordenadas xeneralizadas. Son obtidas das forzas aplicadas F_i; i = 1, ... , n, actuando sobre un sistema que ten a súa configuración definida en función de coordenadas xeneralizadas. Na formulación de traballo virtual, cada forza xeneralizada é o coeficiente da variación dunha coordenada xeneralizada.

Traballo virtual

As forzas xeneralizadas poden ser obtidas do cálculo do traballo virtual, δW, das forzas aplicadas.

O traballo virtual das forzas, F_i, actuando nas partículas P_i, i = 1, ..., n, vén dado por

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}$

Onde δr_i é o desprazamento virtual da partícula P_i.

Coordenadas xeneralizadas

Sendo os vectores de posición de cada unha das partículas, ri, unha función das coordenadas xeneralizadas, q_j, j = 1, ..., m, j = 1, ..., Entón os desprazamentos virtuais δr_i veñen dados por

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,$

Onde δq_j é o desprazamento virtual da coordenada xeneralizada q_j.

O traballo virtual para o sistema de partículas devén

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.$

Lembrando os coeficientes de δq_j obtemos

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.$

Forzas xeneralizadas

O traballo virtual dun sistema de partículas pode ser escrito na forma

$\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},$

Onde

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,$

son chamadas forzas xeneralizadas asociadas coas coordenadas xeneralizadas q_j, j = 1, ..., m,

Formulación da velocidade

Na aplicación do principio de traballo virtual é a miúdo conveniente obter desprazamentos virtuais desde as velocidades do sistema. Para a partícula n do sistema, notando a velocidade de cada partícula Pi ser Vi, entón o desprazamento virtual δr_i tamén pode ser escrito na forma

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.$

Isto significa que a forza xeneralizada, Qj, tamén pode ser determinado cando

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

Principio de D'Alembert

D'Alembert formulou a dinámica dunha partícula como o equilibrio das forzas aplicadas cunha forza de inercia (forza aparente), o chamado Principio de D'Alembert. A forza de inercia dunha partícula, Pi, de masa mi é

$\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,$

Onde A_i é a aceleración da partícula.

Se a configuración do sistema de partículas depende das coordenadas xeneralizadas q_j, j = 1, ..., m, entón a forza de inercia xeneralizada vén dada por

$Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

Forma de D'Alembert do principio de observación de traballo virtual

$\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Graos de liberdade (física e química)