Teorema de Tolomeo: Diferenzas entre revisións
m Bot: Substitución automática de texto (-Ptolomeo +Tolomeo) |
m →Ligazóns externas: Arranxos varios +cda |
||
Liña 46: | Liña 46: | ||
* ''[http://planetmath.org/encyclopedia/PtolemysTheorem.html Ptolemy's theorem]'' en [http://planetmath.org/ PlanetMath] {{en}} |
* ''[http://planetmath.org/encyclopedia/PtolemysTheorem.html Ptolemy's theorem]'' en [http://planetmath.org/ PlanetMath] {{en}} |
||
* ''[http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html Ptolemy Inequality]'', en [http://mathworld.wolfram.com Math World] {{en}} |
* ''[http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html Ptolemy Inequality]'', en [http://mathworld.wolfram.com Math World] {{en}} |
||
{{Control de autoridades}} |
|||
[[Categoría:Teoremas|Tolomeo]] |
[[Categoría:Teoremas|Tolomeo]] |
Revisión como estaba o 27 de setembro de 2017 ás 12:53
O teorema de Tolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Tolomeo.
Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:
Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.
Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:
- En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.
Demostración xeométrica
- Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
- Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
- Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
- Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
- Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
- O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
- É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.
O teorema de Tolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.[1]
Exemplo
Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Tolomeo arroxa neste caso,
Dividindo entre tense
Denotando con a razón b/a obtense , ecuación que coincide coa definición do número áureo.
- .
Notas
- ↑ Adam Puig Curso de Geometría Métrica, Tomo 1 ISBN 84-85731-03-4.
Véxase tamén
Ligazóns externas
- Ptolemy's theorem en PlanetMath (en inglés)
- Ptolemy Inequality, en Math World (en inglés)