Isometría (xeometría riemanniana)

En matemáticas, e máis concretamente en xeometría de Riemann, unha isometría é unha aplicación (suave) dunha variedade (pseudo-) riemanniana noutra preservando distancia entre puntos (a definición de isometría require a noción de métrica na variedade). Se a métrica é definida positiva (ou negativa), a variedade dise riemanniana (ou de Riemann), e se é indefinida dise pseudo-riemanniana (ou semi-riemanniana). Un caso particular de variedade pseudo-riemanniana son as variedades lorentzianas onde a signatura da métrica é $(1,n-1)$ , sendo $n$ a dimensión da variedade. As isometrías estúdanse para todos os casos anteriores.

Definición

Unha isometría local dunha variedade (pseudo-)riemanniana noutra é unha aplicación que toma o tensor métrico da segunda e o transforma no da primeira. Formalmente, dise que un difeomorfismo $F:(M,g)\to (N,h)$ é unha isometría se conserva a métrica por "pullback", i.e., $F^{*}h=g$ .^[1] Equivalentemente mediante a definición por "pushforward" diremos que $F$ é unha isometría se $g(X,Y)=h(F_{*}X,F_{*}Y)$ , para todo $X,Y$ campos de vectores en $M$ . Por outra banda, dise que $F:(M,g)\to (N,h)$ é unha isometría local se para todo $p\in M$ existe unha veciñanza aberta $U$ tal que $F|_{U}$ é unha isometría sobre un aberto de $N$ . Equivalentemente, $F$ é isometría local se é un difeomorfismo local tal que $F^{*}h=g$ .