Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
En matemáticas, e en particular na teoría da medida , unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue . Na teoría da probabilidade , unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria .
Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:
Sexan os espazos medíbeis
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
e
(
Y
,
T
)
{\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}
, significando que
X
{\displaystyle X}
e
Y
{\displaystyle Y}
son conxuntos equipados con cadansúa
σ
{\displaystyle \sigma }
-álxebras
Σ
{\displaystyle \Sigma }
e
T
.
{\displaystyle \mathrm {T} .}
Unha función
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
dise medíbel se para todo
E
∈
T
{\displaystyle E\in \mathrm {T} }
a preimaxe de
E
{\displaystyle E}
baixo
f
{\displaystyle f}
está en
Σ
{\displaystyle \Sigma }
; isto é, para todo
E
∈
T
{\displaystyle E\in \mathrm {T} }
temos
f
−
1
(
E
)
:=
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
∈
E
}
∈
Σ
{\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma }
.[ 1]
Consideremos o espazo medible
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
. Sexan
E
⊂
X
{\displaystyle E\subset X}
e
f
:
E
→
R
¯
{\displaystyle f\colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}
(onde
R
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
é a recta real estendida ). Dicimos que
f
{\displaystyle f}
é medible en
E
{\displaystyle E}
se
{
x
∈
E
:
f
(
x
)
>
α
}
∈
Σ
{\displaystyle \{x\in E\ \colon \ f(x)>\alpha \}\in \Sigma }
para todo
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
. [ 1]
Dado
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
, a función indicadora ou función característica de
E
{\displaystyle E}
é a seguinte función medible
χ
E
:
x
∈
X
→
χ
E
(
x
)
=
{
1
,
x
∈
E
,
0
,
x
∉
E
.
{\displaystyle \chi _{E}\ \colon \ x\in X\to \chi _{E}(x)={\begin{cases}1,\ x\in E,\\0,\ x\notin E.\end{cases}}}
En efecto, dado
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
temos que
{
x
∈
E
:
χ
E
(
x
)
>
α
}
=
{
X
,
α
<
0
,
E
,
0
≤
α
≤
1
,
∅
,
α
≥
1
,
{\displaystyle \{x\in E\ \colon \ \chi _{E}(x)>\alpha \}={\begin{cases}X,&\alpha <0,\\E,&0\leq \alpha \leq 1,\\\emptyset ,&\alpha \geq 1,\end{cases}}}
e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á
σ
{\displaystyle \sigma }
-álxebra .
Consideremos
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
e
f
:
E
→
R
¯
{\displaystyle f\ \colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}
unha función medible. Para cada
E
0
⊂
E
{\displaystyle E_{0}\subset E}
con
E
0
∈
Σ
{\displaystyle E_{0}\in \Sigma }
temos que a restricción de
f
{\displaystyle f}
a
E
0
{\displaystyle E_{0}}
é medible en
E
0
.
{\displaystyle E_{0}.}
Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles
{
E
n
}
n
∈
N
⊂
Σ
{\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }
e
f
{\displaystyle f}
unha función medible en cada
E
n
,
n
∈
N
{\displaystyle E_{n},\ n\in \mathbb {N} }
. Temos que
f
{\displaystyle f}
é medible no conxunto
⋃
n
∈
N
E
n
.
{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.}
Unha función
f
:
E
→
R
¯
{\displaystyle f\colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}
, con
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
un conxunto medible, é medible se, e só se,
f
−
1
(
G
)
∈
Σ
{\displaystyle f^{-1}(G)\in \Sigma }
para cada
G
⊂
R
{\displaystyle G\subset \mathbb {R} }
aberto e, ademais,
f
−
1
(
∞
)
,
f
−
1
(
−
∞
)
∈
Σ
.
{\displaystyle f^{-1}(\infty ),\ f^{-1}(-\infty )\in \Sigma .}
Dadas
f
,
g
:
E
→
R
¯
{\displaystyle f,g\ \colon \ E\to {\overline {\mathbb {R} }}}
con
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
un conxunto medible, tamén serán funcións medibles
f
±
g
,
α
f
,
f
2
,
|
f
|
,
f
g
{\displaystyle f\pm g,\ \alpha f,\ f^{2},\ |f|,\ fg}
, con
α
∈
R
.
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}
χ
∅
=
0
,
χ
X
=
1.
{\displaystyle \chi _{\emptyset }=0,\quad \chi _{X}=1.}
Se
E
1
⊂
E
2
{\displaystyle E_{1}\subset E_{2}}
, entón
χ
E
1
≤
χ
E
2
{\displaystyle \chi _{E_{1}}\leq \chi _{E_{2}}}
.
χ
E
1
∩
E
2
=
χ
E
1
⋅
χ
E
2
{\displaystyle \chi _{E_{1}\cap E_{2}}=\chi _{E_{1}}\cdot \chi _{E_{2}}}
χ
E
1
∪
E
2
=
χ
E
1
+
χ
E
2
−
χ
E
1
∩
E
2
.
{\displaystyle \chi _{E_{1}\cup E_{2}}=\chi _{E_{1}}+\chi _{E_{2}}-\chi _{E_{1}\cap E_{2}}.}
χ
E
c
=
1
−
χ
E
.
{\displaystyle \chi _{E^{c}}=1-\chi _{E}.}
χ
E
1
∖
E
2
=
χ
E
1
−
χ
E
1
∩
E
2
.
{\displaystyle \chi _{E_{1}\setminus E_{2}}=\chi _{E_{1}}-\chi _{E_{1}\cap E_{2}}.}
Dado un subconxunto
E
⊂
X
{\displaystyle E\subset X}
, dicimos que unha función
f
:
E
→
R
{\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }
é unha función simple se existen
Unha colección de conxuntos
{
E
k
}
k
=
1
n
⊂
X
{\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset X}
disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto
E
,
{\displaystyle E,}
Unha colección de escalares
{
α
k
}
k
=
1
n
⊂
R
,
{\displaystyle \{\alpha _{k}\}_{k=1}^{n}\subset \mathbb {R} ,}
de maneira que
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
α
k
χ
E
k
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\chi _{E_{k}}(x).}
Se, considerando agora o espazo medible
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
, temos que
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
e a colección de conxuntos é tal que
{
E
k
}
k
=
1
n
⊂
Σ
{\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset \Sigma }
, entón a función
f
:
E
→
R
{\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }
chamarase función simple medible.
Bartle, R.G.B (1995). The elements of integration and Lebesgue Measure . Wisley.
Del Castillo, F (1987). Análisis Matemático II . Alhambra.
Cohn, D. L. (2013). Measure Theory . Birkhauser.
de Barra, G. (1981). Measure Theory and Integration . John Wiley.
de Barra, G. (2015). Measure Theory and fine properties of functions . Chapman and Hall.
de Barra, G. (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces . Princeton University Press.