Función de Euler

Gráfica de cores do dominio de ϕ no plano complexo

Non confundir con Función totiente de Euler.

En matemáticas, a función de Euler vén dada por

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.$

O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa.

Propiedades

O coeficiente $p(k)$ na expansión en serie de potencias formal para $1/\phi (q)$ dá o número de particións de k. É dicir,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

onde $p$ é a función de partición .

A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

onde $(3n^{2}-n)/2$ é un número pentagonal.

A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como

$\phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).$

A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer:

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }.$

O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q = 0, producindo

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},$

que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como

$\ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}$

onde $b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )

Pola mor da identidade $\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}$, onde $\sigma (n)$ é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como

$\ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}$ .

Valores especiais

As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan:

$\phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}$

$\phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase

$\int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.$

Véxase tamén

Bibliografía

Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR 0434929, Zbl 0335.10001. 

Outros artigos

• Función de partición (teoría de números).
• Teorema dos números pentagonais.

Ligazóns externas

• O termo "función de Euler" pode usarse para referirse a calquera das varias funcións da teoría de números e da teoría de funcións especiais (MathWorld).