Fracción continua xeneralizada

Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha fracción continua xeneralizada é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

$x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$

onde a_n (n > 0) son os numeradores parciais, os b_n os denominadores parciais e o termo principal b₀ chámase parte enteira da fracción continua.

Os sucesivos converxentes da fracción continua fórmanse aplicando as fórmulas de recorrencia :

${\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

con valores iniciais

${\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}$

onde A_n é o numerador e B_n o denominador, chamados continuantes, do n-ésimo converxente.

Historia

Bombelli (1579) ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada. Cataldi representou unha fracción continua como

${a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}$

cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada & representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática. Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral. A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para tan x:

$\tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}$

As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude p > 1, contén unha cadea palindrómica de lonxitude p − 1.

En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss. Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

Notación

A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas:

$x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop +\cdots }$

Carl Friedrich Gauss elaborou esta notación:

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,$

Aquí a "K" significa Kettenbruch, a palabra alemá para "fracción continua".

Algunhas consideracións elementais

Numeradores e denominadores parciais

Se un dos numeradores parciais a_{n + 1} é cero, a fracción continua infinita

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

é realmente só unha fracción continua finita con n termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de a₁ a a_n e b₀ a b_{n + 1}.

Fórmula do determinante

Cando o n-ésimo converxente dunha fracción continua

$x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

exprésase como unha fracción simple x_n = A_n/B_n podemos usar a fórmula do determinante

$A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})$

 

 

 

 

(1)

para relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos x_n e x_{n − 1} entre sí. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

Transformación de equivalencia

Se {c_i} = {c₁, c₂, c₃, ...} é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que

$b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$

A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos a_i é cero pódese escoller unha secuencia {c_i} para que cada numerador parcial sexa 1:

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,$

onde c₁ = 1/a₁, c₂ = a₁/a₂, c₃ = a₂/a₁a₃, e en xeral c_{n + 1} = 1/a_{n + 1}c_n.

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais b_i é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia {d_i} para que cada denominador parcial sexa un 1:

$b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,$

onde d₁ = 1/b₁ e tamén d_{n + 1} = 1/b_nb_{n + 1}.

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

Nocións de converxencia

A fracción continua

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

converxe se a secuencia de converxentes {x_n} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a n , $\operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ por w_n, en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse converxentes modificados. Dicimos que a fracción continua converxe xeneralmente se existe unha secuencia $\{w_{n}^{*}\}$ tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os $\{w_{n}\}$ suficientemente distinto de $\{w_{n}^{*}\}$. A secuencia $\{w_{n}^{*}\}$ chámase entón unha secuencia excepcional para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de Lorentzen & Waadeland (1992) para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é absolutamente converxente cando a serie

$f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),$

onde $f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente. O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é uniformemente converxente nunha veciñanza aberta Ω cando os seus converxentes converxen uniformemente en Ω; é dicir, cando para cada ε > 0 existe M tal que para todo n > M, para todos $z\in \Omega$ ,

$|f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .$

Condicións para a irracionalidade

Se a₁, a₂,... e b₁, b₂,... son enteiros positivos con a_k ≤ b_k para todos os k suficientemente grandes, daquela

$x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

converxe a un límite irracional.

Fórmulas fundamentais de recorrencia

Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as fórmulas fundamentais de recorrencia :

${\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}$

Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo

$x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,$

Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783). Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

Fórmula de fracción continua de Euler

Euler demostrou a seguinte identidade:

$a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,$

Disto pódense derivar moitos outros resultados, como

${\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,$

e

${\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,$

Exemplos

Funcións e números transcendentais

Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.

$e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}$

$\log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}$

Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:

$\arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}$

$e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}$

$\log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970.

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, 2/3, 7, 1/2, 9, 2/5,..., 2k − 1, 2/k,...]

$\log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}$

$\pi$

Fórmula de Leibniz para $\pi$:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots$

converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente 3 × 10ⁿ termos para conseguir n cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots$

aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots$

converxe linearmente a $\pi$, engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

Raíces dos números positivos

A raíz n-ésima de calquera número positivo z^m pódese expresar reformulando z = xⁿ + y, dando como resultado

${\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}$

que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a

${\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.$

A raíz cadrada de z é un caso especial con m = 1 e n = 2:

${\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}$

que se pode simplificar observando que 5/10 = 3/6 = 1/2:

${\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.$

A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados x e y.

Exemplo 1

A raíz cúbica de dous (2 ^1/3 ou 3 ³√2 ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de x = 1, y = 1 e 2z − y = 3:

${\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.$

En segundo lugar, unha converxencia rápida con x = 5, y = 3 e 2z − y = 253:

${\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Fracción continua de Gauss
• Composicións infinitas de funcións analíticas
• Algoritmo de Lentz

Bibliografía

• Angell, David (2010). "A family of continued fractions" (PDF). Journal of Number Theory 130 (4) (Elsevier). pp. 904–911. doi:10.1016/j.jnt.2009.12.003. 

• Angell, David (2021). Irrationality and Transcendence in Number Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 9780367628376. 

• Beckmann, Petr (1971). A History of Pi. St. Martin's Press, Inc. pp. 131–133, 140–143. ISBN 0-88029-418-3. 

• Bombelli, Rafael (1579). L'algebra. Arquivado dende o orixinal o 12 de abril de 2021. Consultado o 26 de marzo de 2024. 

• Borwein, Jonathan Michael; Crandall, Richard E.; Fee, Greg (2004). "On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case". Experimental Mathematics 13 (3). pp. 275–285. doi:10.1080/10586458.2004.10504540. 

• Cataldi, Pietro Antonio (1613). Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri [A treatise on a quick way to find square roots of numbers]. 

• Chrystal, George (1999). Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1. American Mathematical Society. p. 500. ISBN 0-8218-1649-7. 

• Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. American Mathematical Society. pp. 89. ISBN 0-8218-1531-8. 

• Euclid (2008). "Elements". Clay Mathematics Institute. 

• Euler, Leonhard (1748). "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". The Euler Archive. Consultado o 2 May 2022. 

• Gauss, Carl Friedrich (1813). Disquisitiones generales circa seriem infinitam. 

• Havil, Julian (2012). The Irrationals: A Story of the Numbers You Can't Count On. Princeton University Press. pp. 280. ISBN 978-0691143422. JSTOR j.ctt7smdw. 

• Jones, William B.; Thron, W.J. (1980). Continued fractions. Analytic theory and applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 11. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13510-8. Zbl 0445.30003.  (Covers both analytic theory and history.)

• Lorentzen, Lisa; Waadeland, Haakon (1992). Continued Fractions with Applications. Reading, MA: North Holland. ISBN 978-0-444-89265-2.  (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

• Perron, Oskar (1977a). Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020219. 

• Perron, Oskar (1977b). Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020226. 

• Porubský, Štefan (2008). "Basic definitions for continued fractions". Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics. Prague, Czech Republic: Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences. Consultado o 2 May 2022. 

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 5.2. Evaluation of Continued Fractions". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arquivado dende o orixinal o 06 de maio de 2021. Consultado o 26 de marzo de 2024. 

• Sardina, Manny (2007). "General Method for Extracting Roots using (Folded) Continued Fractions" (PDF). Surrey (UK). 

• Szekeres, George (1970). "Multidimensional continued fractions". Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 13. pp. 113–140. 

• Von Koch, Helge (1895). "Sur un théorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des fractions continues". Bulletin de la Société Mathématique de France 23. pp. 33–40. JFM 26.0233.01. doi:10.24033/bsmf.508. 

• Wall, Hubert Stanley (1967). Analytic Theory of Continued Fractions (Reprint ed.). Chelsea Pub Co. ISBN 0-8284-0207-8.  (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

• Wallis, John (1699). Opera mathematica [Mathematical Works]. 

Ligazóns externas

• The first twenty pages of Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-81805-2, contains generalized continued fractions for √2 and the golden mean.
• (secuencia A133593 na OEIS) "Exact" continued fraction for Pi}}