Pentágono

Pentágono regular

En xeometría, chámase pentágono a un polígono de cinco lados.

Propiedades xeométricas

• Tódolos seus ángulos internos miden 108º.
• Unindo os vértices do pentágono, obtense un pentagrama (estrela de 5 puntas) inscrito nél. No centro, queda outro pentágono regular, có que o proceso de inscribir pentagramas nos sucesivos pentágonos non ten fin matematicamente.
• Ao inscribir nun pentágono regular un pentagrama, pódese observar a razón áurea entre as lonxitudes dos segmentos resultantes.
• Pódese trazar empregando, unicamente, unha regla e un compás.

Trazado dun pentágono regular

Área

A área dun pentágono regular de lado a pódese obter da seguinte fórmula:

$A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$

De forma xeral, si temos que o radio da circunferencia circunscrita é r_u

$A={\frac {5}{8}}\cdot r_{u}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

ou tamén:

$A={\frac {5}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}$

Perímetro

Supoñendo que o pentágono ten un lado de lonxitude a:

$a=2\cdot r_{u}\cdot \cos 54^{\circ }$

Ou tamén:

$a=r_{u}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Ángulos Interiores

A suma de tódolos ángulos interiores dun pentágono é 540°, i existe unha fórmula xeral para calcular os ángulos interiores de calquer polígono regular (no caso do pentágono n = 5):

$\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

O ángulo entre dous lados dun pentágono pódese calcular mediante a seguinte fórmula, sempre que se trate dun polígono regular:

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }$