Teorema de Tolomeo: Diferenzas entre revisións
m Isili0n moveu a páxina "Teorema de Ptolomeo" a "Teorema de Tolomeo" |
Sen resumo de edición |
||
Liña 1: | Liña 1: | ||
[[Ficheiro:Ptolemy Theorem.svg |
[[Ficheiro:Ptolemy Theorem.svg|miniatura|Un cuadrilátero cumpre o teorema de Tolomeo se e só se é [[cuadrilátero cíclico|cíclico]].]] |
||
O '''teorema de |
O '''teorema de Tolomeo''' é unha relación en [[xeometría euclidiana]] entre os catro lados e as dúas diagonais dun [[cuadrilátero cíclico]]. Recibe o seu nome do [[astrónomo]] e [[matemático]] [[Grecia romana|grego]] [[Tolomeo|Claudio Tolomeo]]. |
||
Se un [[cuadrilátero]] está dado polos seus catro vértices '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', o teorema afirma que: |
Se un [[cuadrilátero]] está dado polos seus catro vértices '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', o teorema afirma que: |
||
Liña 14: | Liña 14: | ||
=== Demostración xeométrica === |
=== Demostración xeométrica === |
||
[[Ficheiro:Ptolemy's theorem.svg|frame|none|Demostración do teorema de |
[[Ficheiro:Ptolemy's theorem.svg|frame|none|Demostración do teorema de Tolomeo.]] |
||
# Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico. |
# Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico. |
||
# Nótese que no segmento BC, hai os [[ángulo]]s inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB. |
# Nótese que no segmento BC, hai os [[ángulo]]s inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB. |
||
Liña 28: | Liña 28: | ||
Existe unha xeneralización deste teorema chamado [[teorema de Casey]], que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta. |
Existe unha xeneralización deste teorema chamado [[teorema de Casey]], que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta. |
||
O teorema de |
O teorema de Tolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.<ref>Adam Puig ''Curso de Geometría Métrica, Tomo 1'' ISBN 84-85731-03-4.</ref> |
||
== Exemplo == |
== Exemplo == |
||
[[Ficheiro:Ptolemy Pentagon.svg |
[[Ficheiro:Ptolemy Pentagon.svg|miniatura|A razón dourada obtense da aplicación do teorema de Tolomeo.]] |
||
Considérese un pentágono regular e a [[circunferencia circunscrita]] ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de |
Considérese un pentágono regular e a [[circunferencia circunscrita]] ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Tolomeo arroxa neste caso, |
||
::<math> b^2 = a b + a^2.\ </math> |
::<math> b^2 = a b + a^2.\ </math> |
||
Dividindo entre <math>a^2</math> tense |
Dividindo entre <math>a^2</math> tense |
Revisión como estaba o 8 de xaneiro de 2017 ás 12:03
O teorema de Tolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Tolomeo.
Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:
Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.
Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:
- En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.
Demostración xeométrica
- Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
- Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
- Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
- Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
- Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
- O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
- É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.
O teorema de Tolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.[1]
Exemplo
Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Tolomeo arroxa neste caso,
Dividindo entre tense
Denotando con a razón b/a obtense , ecuación que coincide coa definición do número áureo.
- .
Notas
- ↑ Adam Puig Curso de Geometría Métrica, Tomo 1 ISBN 84-85731-03-4.
Véxase tamén
Ligazóns externas
- Ptolemy's theorem en PlanetMath (en inglés)
- Ptolemy Inequality, en Math World (en inglés)