Ecuación de onda electromagnética

Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas, tanto en presenza de materia como no baleiro.

Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell

Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico ${\vec {E}}$${\vec {E}}$ como para o fluxo magnético ${\vec {B}}$${\vec {B}}$ , que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell, tendo que:

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$

Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {B}})$$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {B}})$

Substituíndo $\nabla \times {\vec {B}}$$\nabla \times {\vec {B}}$ e aplicando identidade de rotacional temos:

$-\nabla ^{2}{\vec {E}}+\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$$-\nabla ^{2}{\vec {E}}+\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$

Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e ${\vec {J}}$${\vec {J}}$ é cero no baleiro, quedándonos só

$-\nabla ^{2}{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$$-\nabla ^{2}{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Agora, igualando a cero e sabendo que $\mu _{0}\epsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}$$\mu _{0}\epsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}$, sendo c a velocidade da luz, temos a ecuación de onda para ${\vec {E}}$${\vec {E}}$:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$$\nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Ecuación de onda para B

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {B}})=\nabla \times (\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}))$$\nabla \times (\nabla \times {\vec {B}})=\nabla \times (\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}))$

Aplicando as mesmas identidades que con ${\vec {E}}$${\vec {E}}$ e sabendo que ${\vec {J}}$${\vec {J}}$, tamén é cero, quédanos:

$-\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {E}})$$-\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {E}})$

Substituíndo $\nabla \times {\vec {E}}$$\nabla \times {\vec {E}}$ e igualando a cero, temos a ecuación de onda para ${\vec {B}}$${\vec {B}}$.

$\nabla ^{2}{\vec {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=0$$\nabla ^{2}{\vec {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=0$