Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Os campos electromagnéticos propáganse polo espazo en forma de ondas, que poden viaxar a través dun medio así como no baleiro. As ecuacións de onda electromagnéticas son necesarias para describir a propagación das ondas electromagnéticas , tanto en presenza de materia como no baleiro.
Ecuacións de onda e as ecuacións de Maxwell [ editar | editar a fonte ]
Como se pode apreciar, temos ecuacións de onda tanto para o campo eléctrico
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
como para o fluxo magnético
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
, que se obteñen a partir das ecuacións de Maxwell , tendo que:
∇
×
E
→
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
∇
×
B
→
=
μ
0
(
J
→
+
ϵ
0
∂
E
→
∂
t
)
{\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})}
Para obtermos as ecuacións é necesario aplicar o operador rotacional a ambas.
∇
×
(
∇
×
E
→
)
=
−
∂
∂
t
(
∇
×
B
→
)
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {B}})}
Substituíndo
∇
×
B
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}}
e aplicando identidade de rotacional temos:
−
∇
2
E
→
+
∇
(
∇
⋅
E
→
)
=
−
∂
∂
t
μ
0
(
J
→
+
ϵ
0
∂
E
→
∂
t
)
{\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}+\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})}
Ora ben, sabemos que a segunda parte do lado esquerdo é cero e
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
é cero no baleiro , quedándonos só
−
∇
2
E
→
=
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
E
→
∂
t
2
{\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
Agora, igualando a cero e sabendo que
μ
0
ϵ
0
=
1
c
2
{\displaystyle \mu _{0}\epsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}
, sendo c a velocidade da luz , temos a ecuación de onda para
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
:
∇
2
E
→
−
1
c
2
∂
2
E
→
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}
∇
×
(
∇
×
B
→
)
=
∇
×
(
μ
0
(
J
→
+
ϵ
0
∂
E
→
∂
t
)
)
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {B}})=\nabla \times (\mu _{0}({\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}))}
Aplicando as mesmas identidades que con
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
e sabendo que
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
, tamén é cero, quédanos:
−
∇
2
B
→
=
1
c
2
∂
∂
t
(
∇
×
E
→
)
{\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {E}})}
Substituíndo
∇
×
E
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}}
e igualando a cero, temos a ecuación de onda para
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
.
∇
2
B
→
−
1
c
2
∂
2
B
→
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=0}