Distancia euclidiana

En matemáticas, a distancia euclidiana é a distancia entre dous puntos, que se pode probar aplicando repetidamente o teorema de Pitágoras. Aplicando esta fórmula como distancia, o espazo euclidiano convértese nun espazo métrico.

Definición

Distancia euclidiana entre puntos $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ nun espazo euclidiano n-dimensional, defínese como^[1]:

{\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.

Distancia unidimensional

Para puntos unidimensionais, $P=(p_{x})$ e $Q=(q_{x}),$ a distancia calcúlase como:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.$

O valor absoluto úsase xa que a distancia normalmente considérase un valor escalar sen signo.

Distancia bidimensional

Para puntos bidimensionais, $P=(p_{x},p_{y})$ e $Q=(q_{x},q_{y}),$ a distancia calcúlase como:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.$

Alternativamente, expresando en coordenadas polares, utilizando $P=(r_{1},\theta _{1})$ e $Q=(r_{2},\theta _{2}),$ a distancia calcúlase como:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

Teña en conta que a distancia euclidiana no plano cartesiano, polo tanto bidimensional, é equivalente á hipotenusa ( $c$ ) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), entón a distancia euclidiana entre elas é $100,1249$ ${\sqrt {(400-300)^{2}+(60-50)^{2}}}={\sqrt {10025}}=100,1249.$