Determinante (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Determinante.

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades axiomas que se resumen coa expresión «forma n - lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Matriz

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Matematicamente en forma de matriz:

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

A expresión xeométrica equivalente:

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta$

onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $X$ e $X'$.