Conxectura de Artin sobre raíces primitivas

En teoría de números, a conxectura de Artin sobre raíces primitivas expresa que dado un número enteiro a que non é un cadrado perfecto e tampouco −1, é unha raíz primitiva módulo de infinitos primos p. A conxectura tamén describe unha densidade asintótica deses primos. Esta densidade conxectural é igual á constante de Artin ou a un múltiplo racional da mesma.

A conxectura foi formulada por Emil Artin a Helmut Hasse o 27 de setembro de 1927, segundo o diario deste último. A pesar dos importantes progresos realizados, a conxectura segue sen estar resolta. De feito, aínda non existe nin un só valor de a para o que a conxectura de Artin estea demostrada.

Formulación

Sexa a un enteiro que non é un cadrado perfecto e tampouco −1. Escríbase a = a₀b² con a₀ libre de cadrados. Denote por S(a) o conxunto de números primos p tales que a sexa unha raíz primitiva módulo p. Entón:

1. S(a) ten unha densidade asintótica positiva dentro do conxunto de primos. En particular, S(a) é infinita.
2. Baixo as condicións de que a non sexa unha potencia perfecta e de que a₀ no sexa congruente con 1 módulo 4, esta densidade é independente de a e é igual á constante de Artin que pode ser expresada como un produto infinito

$C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{q\ \mathrm {primo} }\left(1-{\frac {1}{q(q-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ (sucesión A005596 en OEIS).

Existen fórmulas de produtos similares conxecturadas para a densidade cando a non satisfai as condicións anteriores. Neses casos, a densidade conxecturada é sempre un múltiplo racional de C_Artin.

Exemplo

Por exemplo, tómese a = 2. A conxectura afirma que o conxunto dos números primos p para os cales 2 é unha raíz primitiva ten a densidade anteriormente citada C_Artin. O conxunto de tales primos é (sucesión A001122 en OEIS)

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491,...}.

Este ten 38 elementos máis pequenos que 500 e hai 95 primos menores que 500. A razón (que tende conxecturalmente a C_Artin) é 38/95 = 2/5 = 0.4.

Intentos de demostración

En 1967, Hooley publicou unha proba condicional para a conxectura, asumindo certos casos da hipótese xeneralizada de Riemann.​ En 1984, R. Gupta e M. Ram Murty mostraron incondicionalmente que a conxectura de Artin é certa para infinitos a usando métodos de cribado.​ Roger Heath-Brown mellorou os seus resultados e mostrou incondicionalmente que hai, como moito, dous números primos excepcionais a para os cales a conxectura de Artin falla.​ Este resultado non é construtivo, no que se refire ás excepcións. Por exemplo, dedúcese do teorema de Heath-Brown que un dos primos 3, 5 ou 7 é unha raíz primitiva módulo p para infinitos p. Pero a demostración non proporciona unha forma de calcular cal é.

Véxase tamén

Bibliografía

• M. Ram Murty (1988). «Artin's conjecture for primitive roots» (DVI). The Mathematical Intelligencer 10 (4): 59-67. doi:10.1007/BF03023749.