Contraposición

En lóxica e matemáticas, a contraposición refírese á inferencia de pasar dun enunciado condicional ao seu contrapositivo loxicamente equivalente, máis un método de demostración asociado coñecido como proba por contrapositiva. Na contrapositiva dun enunciado, o antecedente e o consecuente son invertidos e negados: a contrapositiva de $P\rightarrow Q$ é, por tanto, $\neg Q\rightarrow \neg P$ . Por exemplo, a proposición "Todos os morcegos son mamíferos" pode ser reescrita na súa forma condicional "Se algo é morcego, entón é mamífero". No final, temos que a proposición pode avaliarse mediante a súa contrapositiva "Se algo non é mamífero, entón non é morcego."

A contrapositiva pode ser comparada con outras tres relacións entre enunciados condicionais:

Inversión (a inversa): $\neg P\rightarrow \neg Q$ .

"Se algo non é morcego, entón nón é mamífero." Diferentemente da contrapositiva, o valor-verdade da inversa non depende de todo do valor-verdade do enunciado orixinal. A inversa, aqui, claramente non é verdadeira.

Reciprocidade (a recíproca): $Q\rightarrow P$ .

"Se algo é mamífero, então é morcego." A recíproca é, na verdade, a contrapositiva da inversa, logo, sempre posúe o mesmo valor-verdade da inversa, logo, non é necesariamente o mesmo que o enunciado orixinal.

Negación: $\neg (P\rightarrow Q)$ .

"Existe un morcego que non é mamífero." Se a negação é verdadeira, a proposição orixinal (e, consecuentemente, a contrapositiva) é falsa. No exemplo mostrado, a negación é claramente falsa.

Note que se $P\rightarrow Q$ é verdadeiro e somos informados de que Q é falsa, $\neg Q$ , pode ser loxicamente inferido que P debe ser falsa, $\neg P$ . Iso é, normalmente, chamado principio da contrapositiva, ou regra de inferencia modus tollens.

Explicación intuitiva[editar | editar a fonte]

No diagrama de Euler que se mostra, se algo está en A, tamén debe estar en B. Polo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:

A\to B

Tamén está claro que calquera cousa que non estea dentro de B (a rexión azul) tampouco non pode estar dentro de A. Esta afirmación, que se pode expresar como:

\neg B\to \neg A

é a contrapositiva da afirmación anterior. Polo tanto, pódese dicir que

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).

Na práctica, esta equivalencia pódese utilizar para facilitar a proba dunha afirmación.

Probas[editar | editar a fonte]

Proba simple por definición de condicional[editar | editar a fonte]

Na lóxica de primeira orde, o condicional defínese como:

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

que se pode facer equivalente ao seu contrapositivo, como segue:

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

Proba simple por contradición[editar | editar a fonte]

Sexa:

(A\to B)\land \neg B

Dáse que, se A é verdade, entón B é verdade, e tamén se dá que B non é verdade. Podemos logo demostrar por contradición que A non debe ser verdadeira. Pois se A fose verdadeira, entón B tería que ser tamén verdadeira (por Modus Ponens). Porén, dáse que B non é verdade, polo que temos unha contradición. Polo tanto, A non é verdadeira (supoñendo que estamos ante afirmacións bivalentes que son verdadeiras ou falsas):

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

Podemos aplicar o mesmo proceso ao revés, comezando cos supostos de que:

(\neg B\to \neg A)\land A

Aquí, tamén sabemos que B é verdadeira ou non. Se B non é verdade, entón A tampouco é verdade. Non obstante, dáse que A é verdade, polo que a suposición de que B non é verdade leva a unha contradición, o que significa que non é o caso de que B non sexa verdade. Polo tanto, B debe ser verdadeira:

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

Combinando os dous enunciados probados xuntos, obtemos a buscada equivalencia lóxica entre unha condición e a súa contrapositiva:

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

Comparacións[editar | editar a fonte]

nome	forma	descrición
implicación	se P entón Q	a primeira afirmación implica verdade da segunda
inversa	se non P non Q	negación de ambas as afirmacións
recíproca	se Q entón P	trocar a orde das afirmacións
contrapositiva	se non Q entón non P	recíproca e negación de ambos os enunciados
negación	P e non Q	contradí a implicación

Exemplo[editar | editar a fonte]

Considere a afirmación "Todo obxecto vermello ten cor.'' Pode expresarse, de forma equivalente, como "Se un obxecto é vermello, daquela ese obxecto ten cor."

* A contrapositiva é "Se un obxecto non ten cor, entón ese obxecto non é vermello". Iso segue loxicamente de nosa afirmación inicial e, así como a orixinal, é, evidentemente, verdadeira.

* A inversa é "Se um objeto non é vermello, entón non ten cor.'' Novamente, un obxecto que é azul non é vermello, e aínda así ten cor. Logo, nese caso, a inversión torna a afirmación falsa.

* A recíproca é "Se un obxecto ten cor, entón é vermello.'' Os obxectos poden ter outras cores, obviamente, logo, a recíproca de nosa afirmación é falsa.

* A negación é "Existe algún obxecto vermello que non ten propiedade de cor''. Se iso fose verdade, entón tanto a recíproca como a inversa deberían ser verdadeiras só exactamente nese caso no que o vermello non sexa unha cor. Mais o vermello é unha cor e por tanto esa afirmación é falsa.

Noutras palabras, a contrapositiva é loxicamente equivalente a un dato condicional, aínda que non sexa válida para bicondicionais ("Se e somente se").

Veracidade[editar | editar a fonte]

Se unha afirmación é verdadeira, entón a súa contrapositiva é verdade (e viceversa).
Se unha afirmación é falsa, entón a súacontrapositiva é falsa (e viceversa).
Se a inversa dunha afirmación é verdadeira, entón a súa inversa é verdadeira (e viceversa).
Se a inversa dunha afirmación é falsa, entón a súa inversa é falsa (e viceversa).
Se a negación dunha afirmación é falsa, entón a afirmación é verdadeira (e viceversa).
Se unha afirmación (ou a súa contrapositiva) e a inversa (ou a inversa) son verdadeiras ou falsas, entón coñécese como bicondicional lóxico.

Proba por contrapositiva[editar | editar a fonte]

Dado que a contrapositiva dun enunciado sempre ten o mesmo valor de verdade (verdade ou falsidade) que o propio enunciado, pode ser unha poderosa ferramenta para demostrar teoremas matemáticos (especialmente se a verdade da contrapositiva é máis fácil de establecer que a verdade do enunciado en si). Unha proba por contrapositiva é unha proba directa da contrapositiva dunha afirmación.^[1] Porén, métodos indirectos como a proba por contradición tamén se poden usar con contraposición, como, por exemplo, na demostración da irracionalidade da raíz cadrada de 2. Pola definición dun número racional, pódese afirmar que "Se ${\sqrt {2}}$ é racional, entón pódese expresar como unha fracción irredutible". Esta afirmación é certa porque é unha reformulación dunha definición. O contrapositivo desta afirmación é "Se ${\sqrt {2}}$ non se pode expresar como unha fracción irredutible, entón non é racional". Esta contrapositiva, como a afirmación orixinal, tamén é certa. Polo tanto, se se pode demostrar que ${\sqrt {2}}$ non se pode expresar como unha fracción irredutible, logo debe ser o caso de que ${\sqrt {2}}$ non é un número racional. Isto último pódese probar por contradición.

p	q	$\lnot$ p	$\lnot$ q	p → q	$\lnot$ q → $\lnot$ p
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001). A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.). Brooks/Cole. p. 37. ISBN 0-534-38214-2.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

[1] Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001). A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.). Brooks/Cole. p. 37. ISBN 0-534-38214-2.

[1]