Diagrama conmutativo

Diagrama conmutativo empregado na demostración do lema dos cinco

En matemáticas, e especialmente en teoría das categorías, un diagrama conmutativo é un diagrama de obxectos (tamén coñecidos como vértices) e morfismos (tamén coñecidos como frechas ou arestas) tales que todas as rutas directas no diagrama cos mesmos puntos finais conducen ao mesmo resultado por composición. Os diagramas conmutativos xogan un papel fundamental en teoría de categorías do mesmo xeito que as ecuacións o fan en álxebra.

Nótese que un diagrama pode ser non conmutativo, por exemplo a composición de diferentes rutas no diagrama pode non dar o mesmo resultado. Para clarificar, poden empregarse frases como «este diagrama conmutativo» ou «o diagrama conmuta».

Exemplos

No seguinte diagrama exprésase o primeiro teorema de isomorfía, conmutativamente significa que $f={\tilde {f}}\circ \pi$:

A continuación móstrase un cadrado conmutativo xenérico, no cal $h\circ f=k\circ g$

Para que o diagrama de abaixo conmute débense ter tres igualdades: $\;r\circ h\circ g=H\circ G\circ l,\;$ (2) $\;m\circ g=G\circ l,\;$ e (3) $\;r\circ h=H\circ m$. Posto que a primeira se segue das dúa últimas para que o diagrama conmute basta con mostrar (2) e (3). Porén, posto que a igualdade (3) non se segue en xeral das outras dúas igualdades, para que este diagrama conmute xeralmente non é bastante con ter só as igualdades (1) e (2).

Símbolos

Nos textos de álxebra, o tipo de morfismos pode denotarse mediante o uso de diferentes frechas: monomorfismos cunha $\hookrightarrow$, epimorfismos cunha $\twoheadrightarrow$, e isomorfismos cunha ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$. A frecha a trazos tipicamente representa a afirmación de que o morfismo indica que existe cada vez que o resto do esquema se cumpre.

Verificación da conmutatividade

A conmutatividade dá sentido a un polígono de calquera número finito de caras (mesmo unicamente 1 ou 2), e un diagrama é conmutativo se cada subdiagrama poligonal é conmutativo.

Persecución de diagramas

A persecución ou cacería de diagramas é un método de demostración matemática usado sobre todo en álxebra homolóxica. Dado un diagrama conmutativo, unha demostración mediante persecución de diagramas implica o uso formal das propiedades do diagrama, tales como os mapas inxectivos ou sobrexectivos, ou sucesións exactas. Constrúese un siloxismo, para o cal se usa a representación gráfica do diagrama só como axuda visual. De aquí dedúcese que un termina por "cazar" ou "atrapar" elementos en torno ao diagrama, ata que o elemento ou resultado desexado se verifica ou se demostra construtivamente.

Algúns exemplos de demostración mediante cacería de diagramas son aquelas que usan o lema dos cinco, o lema da serpe, o lema zigzag e o lema do nove.

Diagramas como funtores

Un diagrama conmutativo nunha categoría C pode ser interpretado como un funtor dunha categoría indexada J en C; ese funtor chámase diagrama.

Máis formalmente, un diagrama conmutativo é unha visualización dun diagrama indexado por unha categoría poset:

• Debúxase un nodo para cada obxecto na categoría indexada.
• Unha frecha para a xeración do conxunto de morfismos, omitindo a identidade de mapas e morfismos que poden ser expresados mediante composicións.
• A conmutatividade do diagrama (a igualdade de diferentes composicións de aplicacións entre dous obxectos) corresponde á unicidade dunha aplicación entre dous obxectos nunha categoría poset.

Ao contrario, dado un diagrama conmutativo, este define unha categoría poset:

• os obxectos son os nodos,
• hai un morfismo entre dous obxectos calquera se e só se existe un camiño (directo) entre os nodos,
• coa relación de que este morfismo é único (calquera composición de aplicacións se define polo seu dominio e destino: este é o axioma de conmutatividade).

Con todo, non todo diagrama conmuta (a noción de diagrama estritamente xeneraliza ao diagrama conmutativo): máis simplemente, o diagrama dun obxecto simple cun endomorfismo ($f\colon X\to X$), ou con dúas frechas paralelas ($\bullet \rightrightarrows \bullet$; $f,g\colon X\to Y$), como o usado na definición de ecualizador é necesario que non conmute. Ademais, os diagramas poden ser incómodos ou imposibles de representar cando o número de obxectos e morfismos é grande (ou mesmo infinito).

Véxase tamén

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 21 de abril de 2015. Consultado o 02 de xullo de 2017.  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories (PDF). ISBN 0-387-96115-1.  Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Outros artigos

• Diagrama matemático
• Propiedade conmutativa