Teorema da función implícita

A circunferencia unitaria pode representarse pola ecuación implícita $x^{2}+y^{2}-1=0\,$. Ó redor do punto A, poderemos expresar y como unha función $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$. Pero non existirá unha función similar nunha contorna do punto B.

En análise matemática, o teorema da función implícita estabelece condicións baixo as que unha ecuación de varias variables permite definir unha delas como función das demais.

Por exemplo, dada a ecuación F(x,y)=0 (forma coñecida como función implícita), baixo certas esixencias sobre a derivada de F poderiamos, alo menos localmente, despexar y=f(x).

Enunciado

Se se considera o punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ e a ecuación $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)=0$, sendo $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)$ unha función de $\,n+1$ variábeis que satisfai as seguintes condicións:

1. $\,F(P)=0$
2. Nun contorno do punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ existen e son continuas as derivadas parciais ${\frac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial F}{\partial z}}$.
3. ${\frac {\partial F}{\partial z}}$ en $P$ é distinto de cero.

Entón existe nun contorno do punto $\,Q=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ unha única función $\,z=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ cuxas derivadas parciais respecto de $\,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ son continuas nun contorno de dito punto $\,Q$ e tal que $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=0$.

Existen versións deste teorema con hipóteses algo máis xerais.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema da función inversa