Teorema da función implícita

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
A circunferencia unitaria pode representarse pola ecuación implícita  x^2 + y^2 -1=0 \,. Ó redor do punto A, poderemos expresar y como unha función y(x)=\sqrt{1-x^2}. Pero non existirá unha función similar nunha contorna do punto B.

En análise matemática, o teorema da función implícita estabelece condicións baixo as que unha ecuación de varias variables permite definir unha delas como función das demais.

Por exemplo, dada a ecuación F(x,y)=0 (forma coñecida como función implícita), baixo certas esixencias sobre a derivada de F poderiamos, alo menos localmente, despexar y=f(x).

Enunciado[editar | editar a fonte]

Se se considera o punto \, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b) e a ecuación \, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)=0, sendo \, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z) unha función de \, n+1 variábeis que satisfai as seguintes condicións:

  1. \, F(P)=0
  2. Nun entorno do punto \, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b) existen e son continuas as derivadas parciais \frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial F}{\partial x_n}, \frac{\partial F}{\partial z}.
  3. \frac{\partial F}{\partial z} en P é distinto de cero.

Entón existe nun entorno do punto \, Q=(a_1,a_2,\dots,a_n) unha única función \, z=f(x_1,x_2,\dots,x_n) cuxas derivadas parciais respecto de \, x_1,x_2,\dots,x_n son continuas nun entorno de dito punto \, Q e tal que \, F(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1,x_2,\dots,x_n))=0.

Existen versións deste teorema con hipóteses algo máis xerais.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]