Tensor tensión

Compoñentes do tensor tensión nun punto P dun sólido deformable.

En mecánica de medios continuos, o tensor tensión ou tensor de tensións é o tensor que dá conta da distribución de tensións e esforzos internos no medio continuo.

Tipos de tensor tensión

Tensor tensión de Cauchy

Representación gráfica das compoñentes do tensor tensión nunha base ortogonal.

O teorema de Cauchy sobre as tensións dun corpo, establece que dada unha distribución de tensións internas sobre a xeometría dun medio continuo deformado, que satisfaga as condicións do principio de Cauchy, existe un campo tensorial T simétrico definido sobre a xeometría deformada coas seguintes propiedades:

1. . $t(\mathbf {x} ,n)=[T_{C}(\mathbf {x} )](n),$
2. . $\nabla \cdot T_{C}(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,$
3. . $T_{C}(\mathbf {x} )=T_{C}^{T}(\mathbf {x} )$

A terceira propiedade significa que este tensor virá dado sobre as coordenadas especificadas por unha matriz simétrica. Cabe sinalar que nun problema mecánico a priori é difícil coñecer o tensor tensión de Cauchy xa que este está definido sobre a xeometría do corpo unha vez deformado, e esta non é coñecida de antemán. Polo tanto previamente é necesario encontrar a forma deformada para coñecer exactamente o tensor de Cauchy. Mais, cando as deformacións son pequenas, en enxeñaría e aplicacións prácticas emprégase este tensor aínda que definido sobre as coordenadas do corpo sen deformar (o cal non conduce a erros de cálculo excesivo se todas as deformacións máximas son inferiores a 0,01).

Fixado un sistema de referencia ortogonal, o tensor tensión de Cauchy vén dado por unha matriz simétrica coas compoñentes:

$[T_{C}]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$

A segunda forma é a forma común de chamar aos compoñentes do tensor tensión na enxeñaría.

Primeiro tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Os tensores de Piola-Kirchhoff T_R introdúcense para evitar a dificultade de ter que traballar cun tensor definido sobre a xeometría xa deformada (que normalmente non é coñecida previamente). A relación entre ambos tensores vén dada por:

$T_{R}(\mathbf {x} )=det(\nabla F)T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}$

Onde F é o tensor gradiente de deformación. Este tensor non obstante ten o problema de que non é simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Este tensor introdúcese para lograr un tensor definido sobre a xeometría previa á deformación e que ademais sexa simétrico, a diferenza do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que non ten por que ser simétrico. O segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff vén dado por:

$\Sigma _{R}(\mathbf {x} )=\det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T},$

Véxase tamén

Outros artigos

• Mecánica de medios continuos
• Elasticidade (mecánica)
• Teorema de Rivlin-Ericksen
• Tensor deformación

Bibliografía

• R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.