Relación transitiva
En matemáticas, unha relación binaria R nun conxunto X é transitiva se, para todos os elementos a, b, c en X, sempre que R relaciona a con b e b con c, entón R tamén relaciona a con c.
Toda orde parcial e toda relación de equivalencia son transitivas. Por exemplo, a desigualdade e a igualdade entre os números reais son ambas as dúas transitivas: Se a < b e b < c entón a < c; e se x = y e y = z entón x = z .
Definición
[editar | editar a fonte]Relacións binarias transitivas | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por Si na columna "Simétrica" e Non na columna "Antisimétrica". Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea sexa transitiva: para todo se e entón |
Unha relación homoxénea R no conxunto X é unha relación transitiva se, [1]
- para todo a, b, c ∈ X, se a R b e b R c, entón a R c.
Ou en termos de lóxica de primeira orde:
- ,
onde a R b é a notación infixa para (a, b) ∈ R.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Como exemplo non matemático, a relación "é ascendente de" é transitiva. Por exemplo, se Paz é ascendente de Belén e Belén é ascendente de Nuno, daquela Paz tamén é ascendente de Nuno.
"É maior que", "é polo menos tan grande como" e "é igual a" son relacións transitivas en varios conxuntos, por exemplo, o conxunto de números reais ou o conxunto de números naturais:
- sempre que x > y e y > z, entón tamén x > z,
- sempre que x ≥ y e y ≥ z, entón tamén x ≥ z,
- sempre que x = y e y = z, entón tamén x = z.
Máis exemplos de relacións transitivas:
- "é un subconxunto de" (inclusión de conxuntos, unha relación entre conxuntos)
- "divide" (divisibilidade, unha relación entre números naturais)
- "implica" (implicación, simbolizada por "⇒", unha relación entre proposicións)
Exemplos de relacións non transitivas:
- "é o sucesor de" (unha relación sobre números naturais)
- "é perpendicular a" (unha relación en liñas en xeometría euclidiana)
A relación baleira en calquera conxunto é transitiva [2] porque non hai elementos tal que e , e polo tanto a condición de transitividade é vacuamente verdadeira. Unha relación R que contén só un par ordenado tamén é transitiva: se o par ordenado é da forma para algúns os únicos elementos deste tipo son , e de feito neste caso , mentres que se o par ordenado non é da forma entón non hai tales elementos e polo tanto é vacuamente transitivo.
Propiedades
[editar | editar a fonte]Propiedades de pechamento
[editar | editar a fonte]- A inversa dunha relación transitiva é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "é un subconxunto de" é transitiva e que "é un superconxunto de" é a súa inversa, pódese concluír que esta última tamén é transitiva.
- A intersección de dúas relacións transitivas é sempre transitiva. [3] Por exemplo, sabendo que "naceu antes" e "ten o mesmo nome que" son transitivas, pódese concluír que "naceu antes e tamén ten o mesmo nome que" tamén é transitiva.
- A unión de dúas relacións transitivas non ten por que ser transitiva. Por exemplo, "naceu antes ou ten o mesmo nome que" non é unha relación transitiva.
- O complemento dunha relación transitiva non ten por que ser transitiva.[4] Por exemplo, mentres "igual a" é transitiva, "non igual a" só é transitiva en conxuntos cun elemento como máximo.
Outras propiedades
[editar | editar a fonte]Unha relación transitiva é asimétrica se e só se é irreflexiva.[5]
Unha relación transitiva non ten por que ser reflexiva. Cando o é, chámase preorde. Por exemplo, no conxunto X = {1,2,3}:
- R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) } é reflexiva, pero non transitiva, xa que o par (1,2) está ausente,
- R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) } é reflexiva e transitiva, polo que é unha preorde,
- R = { (1,1), (2,2), (3,3) } é reflexiva e transitiva, tamén é unha preorde.
Tipos de relación que requiren transitividade
[editar | editar a fonte]- Preorde: unha relación reflexiva e transitiva
- Orde parcial: unha preorde antisimétrica
- Preorde total: unha orde previo conectado (anteriormente chamado total).
- Relación de equivalencia: unha preorde simétrica
- Orde débil estrita: unha orde parcial estrita na que a incomparabilidade é unha relación de equivalencia
- Orde total: relación conexa (total), antisimétrica e transitiva
Contando as relacións transitivas
[editar | editar a fonte]Non se coñece ningunha fórmula xeral que conte o número de relacións transitivas nun conxunto finito (secuencia A006905 na OEIS). No entanto, existe unha fórmula para atopar o número de relacións que son simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas, é dicir, relacións de equivalencia (secuencia A000110 na OEIS) , as simétricas e transitivas, as simétricas, transitivas., e antisimétricas, e as que son totais, transitivas e antisimétricas. Pfeiffer fixo algúns progresos nesta dirección, expresando relacións con combinacións destas propiedades en termos entre si, mais aínda é difícil calcular calquera en si mesma. Véxase tamén Brinkmann e McKay (2005).
Propiedades relacionadas
[editar | editar a fonte]Unha relación R chámase intransitiva se non é transitiva, é dicir, se xRy e yRz, pero non xRz, para algúns x, y, z. Pola contra, unha relación R chámase antitransitiva se xRy e yRz sempre implican que non se cumpre xRz. Por exemplo, a relación definida por xRy se xy é un número par é intransitiva,[6] mais non antitransitiva.[7] A relación definida por xRy se x é par e y é impar é transitiva e antitransitiva.[8] A relación definida por xRy se x é o número sucesor de y é tanto intransitiva [9] como antitransitiva.[10]
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006
- ↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006
- ↑ Bianchi, Mariagrazia; Mauri, Anna Gillio Berta; Herzog, Marcel; Verardi, Libero (2000-01-12). "On finite solvable groups in which normality is a transitive relation". Journal of Group Theory 3 (2). ISSN 1433-5883. doi:10.1515/jgth.2000.012. Arquivado dende o orixinal o 2023-02-04. Consultado o 2022-12-29.
- ↑ Robinson, Derek J. S. (January 1964). "Groups in which normality is a transitive relation". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 60 (1): 21–38. Bibcode:1964PCPS...60...21R. doi:10.1017/S0305004100037403.
- ↑ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. p. 1. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-11-02. Lemma 1.1 (iv).
- ↑ posto que, por exemplo, 3R4 e 4R5, mais non 3R5
- ↑ posto que, por exemplo, 2R3 e 3R4 e 2R4
- ↑ posto que xRy eyRz nunca pode acontecer
- ↑ posto que, por exemplo, 3R2 e 2R1, mais non 3R1
- ↑ posto que, máis xeneralmente, xRy e yRz implica x=y+1=z+2≠z+1, isto é, non xRz, para todos os x, y, z
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Grimaldi, Ralph P. (1994). Discrete and Combinatorial Mathematics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-19912-2.
- Liu, C.L. (1985). Elements of Discrete Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-038133-X.
- Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
- Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
- Pfeiffer, G. (2004). Counting transitive relations. Journal of Integer Sequences, 7(2), 3.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- "Transitivity". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- Transitivity in Action at cut-the-knot